Açısal momentumun korunumu nedir Test 1

İki gezegen aynı yıldız etrafında dairesel yörüngelerde dolanmaktadır. Birinci gezegenin yörünge yarıçapı ikincinin iki katıdır. İkinci gezegenin açısal momentumunun birinci gezegenin açısal momentumuna oranı nedir?

A) 1/2
B) 1/√2
C) √2
D) 2

Bu soruda, gezegenlerin dairesel yörüngelerdeki hareketlerini ve açısal momentumlarını inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• 1. Açısal Momentumun Tanımı:

  Bir gezegenin yörüngesel açısal momentumu ($L$), kütlesi ($m$), hızı ($v$) ve yörünge yarıçapı ($r$) ile ilişkilidir. Dairesel bir yörünge için açısal momentumun büyüklüğü şu şekilde verilir:

  $L = mvr$

  Burada $m$ gezegenin kütlesi, $v$ gezegenin yörünge hızı ve $r$ yörünge yarıçapıdır.

• 2. Yörünge Hızının Yarıçapa Bağlılığı:

  Gezegenler yıldız etrafında dairesel yörüngede dolanırken, yıldızın uyguladığı kütle çekim kuvveti, gezegenin dairesel hareketini sağlayan merkezcil kuvvet görevi görür. Yıldızın kütlesi $M$ olsun.

  Kütle çekim kuvveti: $F_g = G\frac{Mm}{r^2}$

  Merkezcil kuvvet: $F_c = \frac{mv^2}{r}$

  Bu iki kuvvet birbirine eşit olduğundan:

  $G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

  Bu denklemden gezegenin yörünge hızını ($v$) çekelim:

  $v^2 = G\frac{M}{r}$

  $v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$

  Bu ifadeyi $v = \sqrt{GM} \cdot r^{-1/2}$ şeklinde de yazabiliriz. Görüldüğü gibi, yörünge hızı, yörünge yarıçapının karekökü ile ters orantılıdır.

• 3. Açısal Momentumun Yarıçapa Bağlılığı:

  Şimdi bulduğumuz $v$ ifadesini açısal momentum denklemi olan $L = mvr$ içine yerleştirelim:

  $L = m \left(\sqrt{G\frac{M}{r}}\right) r$

  $L = m \sqrt{GM} \frac{r}{\sqrt{r}}$

  $L = m \sqrt{GM} \sqrt{r}$

  Bu denklem, bir gezegenin açısal momentumunun, kütlesi, yıldızın kütlesi ve yörünge yarıçapının karekökü ile doğru orantılı olduğunu gösterir. Soruda gezegenlerin kütleleri hakkında bilgi verilmediği için, bu tür sorularda genellikle gezegenlerin kütlelerinin aynı olduğu varsayılır veya oran alırken sadeleşeceği düşünülür. Biz de $m_1 = m_2 = m$ olduğunu varsayacağız.

• 4. Gezegenler Arasındaki Oranın Hesaplanması:

  Soruda birinci gezegenin yörünge yarıçapının ikincinin iki katı olduğu belirtiliyor: $r_1 = 2r_2$.

  İkinci gezegenin açısal momentumu ($L_2$):

  $L_2 = m \sqrt{GM} \sqrt{r_2}$

  Birinci gezegenin açısal momentumu ($L_1$):

  $L_1 = m \sqrt{GM} \sqrt{r_1}$

  Şimdi $r_1 = 2r_2$ bilgisini $L_1$ denklemine yerine koyalım:

  $L_1 = m \sqrt{GM} \sqrt{2r_2}$

  $L_1 = m \sqrt{GM} \sqrt{2} \sqrt{r_2}$

  Bizden istenen oran $L_2 / L_1$ idi:

  $\frac{L_2}{L_1} = \frac{m \sqrt{GM} \sqrt{r_2}}{m \sqrt{GM} \sqrt{2} \sqrt{r_2}}$

  Görüldüğü gibi $m$, $\sqrt{GM}$ ve $\sqrt{r_2}$ terimleri sadeleşir:

  $\frac{L_2}{L_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bu durumda, ikinci gezegenin açısal momentumunun birinci gezegenin açısal momentumuna oranı $1/\sqrt{2}$'dir.

Cevap B seçeneğidir.