Bir sinema salonunda 10 arkadaş yan yana 10 koltuğa oturacaktır. Aralarında Aysu ve Beren adlı iki arkadaşın arasında en az bir kişi olması isteniyor. Kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) \( 10! - 2 \times 9! \)Bu tür kombinasyon problemlerini çözerken genellikle tüm olası durumları hesaplayıp, istenmeyen durumları bu toplamdan çıkarmak en kolay yoldur. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
Öncelikle, 10 arkadaşın 10 koltuğa hiçbir kısıtlama olmadan kaç farklı şekilde oturabileceğini hesaplayalım.
10 kişi 10 farklı koltuğa $10!$ (10 faktöriyel) farklı şekilde oturabilir.
Yani, Toplam Durum Sayısı = $10!$
Soruda Aysu ve Beren arasında "en az bir kişi olması" isteniyor. Bu durumun tam tersi, yani bizim istemediğimiz durum, "Aysu ve Beren'in yan yana oturması"dır.
Şimdi Aysu ve Beren'in yan yana oturduğu durumların sayısını bulalım.
Aysu ve Beren'in yan yana oturduğu durumları hesaplamak için, onları tek bir "birim" veya "blok" olarak düşünebiliriz. Yani, (Aysu Beren) grubunu tek bir kişi gibi kabul edelim.
Bu durumda, Aysu ve Beren'in oluşturduğu bu blok ve diğer 8 arkadaş (toplam 9 birim) varmış gibi düşünürüz. Bu 9 birim kendi aralarında $9!$ farklı şekilde sıralanabilir.
Ayrıca, Aysu ve Beren kendi aralarında da yer değiştirebilirler: (Aysu Beren) veya (Beren Aysu). Bu da $2! = 2$ farklı durum demektir.
Dolayısıyla, Aysu ve Beren'in yan yana oturduğu toplam durum sayısı = $9! \times 2! = 2 \times 9!$
İstenen durum (Aysu ve Beren arasında en az bir kişi olması) = Toplam Durum Sayısı - Aysu ve Beren'in Yan Yana Oturduğu Durum Sayısı
İstenen Durum = $10! - (2 \times 9!)$
Bu ifade, A seçeneğindeki ifade ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
