f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun sıfırları aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 ve 3Bir fonksiyonun sıfırları, o fonksiyonun değerini sıfır yapan $x$ değerleridir. Başka bir deyişle, $f(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulmamız gerekiyor. Bu değerlere aynı zamanda fonksiyonun kökleri de denir.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Bu fonksiyonun sıfırlarını bulmak için $f(x)$'i sıfıra eşitleyelim:
Öncelikle, denklemi kuruyoruz: $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çözmek için en sık kullanılan ve anlaşılması kolay yöntemlerden biri çarpanlara ayırma yöntemidir. Bu yöntemde, çarpımları sabit terim olan $3$'ü ve toplamları $x$'in katsayısı olan $-4$'ü veren iki sayı ararız.
Düşünelim: Hangi iki tam sayının çarpımı $3$ eder ve aynı zamanda toplamı $-4$ eder? Bu sayılar $-1$ ve $-3$'tür. Çünkü $(-1) \times (-3) = 3$ ve $(-1) + (-3) = -4$.
Şimdi denklemi bu sayılar yardımıyla çarpanlarına ayıralım:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu temel matematik ilkesini kullanarak her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleriz:
İlk çarpan için: $x - 1 = 0 \implies x = 1$
İkinci çarpan için: $x - 3 = 0 \implies x = 3$
Böylece, fonksiyonun sıfırları $1$ ve $3$ olarak bulunur.
Alternatif olarak, bu tür ikinci dereceden denklemleri ikinci dereceden denklem formülü (diskriminant yöntemi) ile de çözebilirsiniz: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Burada $a=1$, $b=-4$ ve $c=3$ değerlerini yerine koyarak da aynı sonuçlara ulaşabilirsiniz:
Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de bize aynı sıfırları verir: $1$ ve $3$.
Bu durumda, fonksiyonun sıfırları $1$ ve $3$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
