Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 8 cm, 5 cm ve 12 cm'dir. Bu prizma tamamen su ile dolduruluyor. Daha sonra bu suyun tamamı, taban yarıçapı 4 cm olan silindirik bir kaba boşaltılıyor. Silindir kabın içindeki su yüksekliği kaç cm olur? (π = 3 alınız)
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir dikdörtgenler prizmasındaki suyu silindirik bir kaba aktardığımızda suyun yüksekliğinin ne olacağını bulacağız. Temel prensip, suyun hacminin değişmeyeceğidir. Yani, prizmadaki suyun hacmi ile silindirdeki suyun hacmi birbirine eşit olacaktır. Haydi adım adım çözelim:
- 1. Adım: Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplayalım
- Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç boyutunun (uzunluk, genişlik, yükseklik) çarpımıyla bulunur.
- Prizmanın boyutları 8 cm, 5 cm ve 12 cm olarak verilmiştir.
- Hacim formülü: $V_{prizma} = \text{uzunluk} \times \text{genişlik} \times \text{yükseklik}$
- $V_{prizma} = 8 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}$
- $V_{prizma} = 40 \text{ cm}^2 \times 12 \text{ cm}$
- $V_{prizma} = 480 \text{ cm}^3$
- Bu prizma tamamen su ile dolu olduğu için, suyun hacmi de $480 \text{ cm}^3$ olacaktır.
- 2. Adım: Silindirin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Silindirik bir kabın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıyla bulunur. Taban alanı ise bir daire olduğu için $\pi \times r^2$ formülüyle hesaplanır.
- Hacim formülü: $V_{silindir} = \pi \times r^2 \times h$
- Burada $r$ taban yarıçapı, $h$ ise suyun yüksekliğidir.
- Soruda $\pi = 3$ almamız istenmiş ve taban yarıçapı $r = 4 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Suyun yüksekliğini ($h$) bulmaya çalışıyoruz.
- $V_{silindir} = 3 \times (4 \text{ cm})^2 \times h$
- $V_{silindir} = 3 \times 16 \text{ cm}^2 \times h$
- $V_{silindir} = 48 \times h \text{ cm}^3$
- 3. Adım: Hacimleri Eşitleyelim ve Su Yüksekliğini Bulalım
- Prizmadaki suyun tamamı silindirik kaba boşaltıldığı için, prizmanın hacmi ile silindirdeki suyun hacmi birbirine eşit olmalıdır.
- $V_{prizma} = V_{silindir}$
- $480 \text{ cm}^3 = 48 \times h \text{ cm}^3$
- Şimdi $h$ değerini bulmak için her iki tarafı 48'e bölelim:
- $h = \frac{480}{48}$
- $h = 10 \text{ cm}$
- Yani, silindir kabın içindeki su yüksekliği 10 cm olacaktır.
Cevap B seçeneğidir.
