Taban ayrıtları 6 cm ve 8 cm, yüksekliği 15 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kap tamamen su ile doludur. Bu suyun tamamı, yüksekliği 18 cm olan kare prizma şeklindeki bir kaba boşaltılıyor. Kare prizmanın taban ayrıtı 4√3 cm olduğuna göre, kaptaki suyun yüksekliği kaç cm olur?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir kaptaki suyu başka bir kaba aktarıyoruz ve suyun yeni kaptaki yüksekliğini bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde anahtar nokta, suyun hacminin değişmediğini bilmektir. Yani, ilk kaptaki suyun hacmini bulup, bu hacmi ikinci kabın taban alanına bölerek suyun yüksekliğini hesaplayabiliriz.
- 1. Adım: Dikdörtgenler Prizmasındaki Suyun Hacmini Hesaplayalım.
- İlk kabımız bir dikdörtgenler prizmasıdır. Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban ayrıtlarının çarpımı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
- Verilenler:
- Taban ayrıtları: $6$ cm ve $8$ cm
- Yükseklik: $15$ cm
- Dikdörtgenler prizmasının hacmi ($V_1$) = Taban ayrıtı $1 \times$ Taban ayrıtı $2 \times$ Yükseklik
- $V_1 = 6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$
- $V_1 = 48 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm}$
- $V_1 = 720 \text{ cm}^3$
- Bu, kapta bulunan suyun hacmidir.
- 2. Adım: Suyun Hacminin Değişmediğini Unutmayalım.
- Bu suyun tamamı kare prizma şeklindeki ikinci kaba boşaltıldığı için, kare prizmadaki suyun hacmi de $720 \text{ cm}^3$ olacaktır. Yani, $V_2 = 720 \text{ cm}^3$.
- 3. Adım: Kare Prizmanın Taban Alanını Hesaplayalım.
- İkinci kabımız bir kare prizmadır. Kare prizmanın tabanı bir karedir. Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
- Verilen:
- Kare prizmanın taban ayrıtı: $4\sqrt{3}$ cm
- Kare prizmanın taban alanı ($A_{taban}$) = $(\text{Taban ayrıtı})^2$
- $A_{taban} = (4\sqrt{3} \text{ cm})^2$
- $A_{taban} = 4^2 \times (\sqrt{3})^2 \text{ cm}^2$
- $A_{taban} = 16 \times 3 \text{ cm}^2$
- $A_{taban} = 48 \text{ cm}^2$
- 4. Adım: Kare Prizmadaki Suyun Yüksekliğini Bulalım.
- Bir prizmadaki suyun hacmi, taban alanı ile suyun yüksekliğinin çarpımına eşittir.
- Suyun hacmi ($V_2$) = Taban alanı ($A_{taban}$) $\times$ Suyun yüksekliği ($h_{su}$)
- $720 \text{ cm}^3 = 48 \text{ cm}^2 \times h_{su}$
- Şimdi $h_{su}$'yu bulmak için denklemi çözelim:
- $h_{su} = \frac{720 \text{ cm}^3}{48 \text{ cm}^2}$
- $h_{su} = 15 \text{ cm}$
- Kare prizmanın kendi yüksekliği $18$ cm olduğu için, $15$ cm'lik su yüksekliği kabın içinde kalacaktır, yani su taşmayacaktır.
Böylece, kare prizma şeklindeki kapta suyun yüksekliği $15$ cm olur.
Cevap D seçeneğidir.
