\( f: R \to R \) olmak üzere \( f(x) = (a-2)x + b + 1 \) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Bu soruyu çözmek için öncelikle "birim fonksiyon" kavramını hatırlayalım.
Birim Fonksiyon Nedir? Birim fonksiyon, $f(x) = x$ şeklinde tanımlanan fonksiyondur. Yani, fonksiyona hangi değeri verirsek, sonuç olarak o değeri elde ederiz. Örneğin, $f(5)=5$, $f(-3)=-3$ gibi. Birim fonksiyonun grafiği, koordinat düzleminde orijinden geçen ve $x$ ekseniyle $45^\circ$ açı yapan doğru üzerindedir.
Soruda verilen fonksiyon $f(x) = (a-2)x + b + 1$ ve bu fonksiyonun birim fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
Bu durumda, verilen fonksiyonun kuralı birim fonksiyonun kuralına eşit olmalıdır. Yani, $(a-2)x + b + 1 = x$ eşitliği sağlanmalıdır.
Bu eşitliğin her $x$ değeri için doğru olabilmesi için, $x$'in katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.
Öncelikle $x$'in katsayılarını eşitleyelim: Sol taraftaki $x$'in katsayısı $(a-2)$, sağ taraftaki $x$'in katsayısı ise $1$'dir (çünkü $x = 1 \cdot x + 0$ olarak düşünülebilir).
Bu durumda, $a-2 = 1$ denklemini çözeriz.
$a-2 = 1 \implies a = 1 + 2 \implies a = 3$ bulunur.
Şimdi de sabit terimleri eşitleyelim: Sol taraftaki sabit terim $(b+1)$, sağ tarafta ise sabit terim yoktur, yani $0$'dır.
Bu durumda, $b+1 = 0$ denklemini çözeriz.
$b+1 = 0 \implies b = -1$ bulunur.
Soruda bizden $a+b$ değeri istenmektedir.
Bulduğumuz $a=3$ ve $b=-1$ değerlerini yerine yazalım: $a+b = 3 + (-1)$.
