Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 5 doğrusal fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Tanım kümesi {5}'tir
B) Görüntü kümesi R'dir
C) Görüntü kümesi {5}'tir
D) Tanım kümesi boş kümedir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 5$ doğrusal fonksiyonu için bazı ifadelerin doğruluğunu değerlendirmemiz isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- Fonksiyonun Anlamı: $f(x) = 5$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ değeri için fonksiyonun sonucunun (görüntüsünün) her zaman $5$ olduğunu ifade eder. Yani, hangi gerçek sayıyı fonksiyona verirsek verelim, çıktı her zaman $5$ olacaktır. Bu tür fonksiyonlara "sabit fonksiyon" da denir ve doğrusal fonksiyonların özel bir halidir.
- Tanım Kümesi Nedir?: Tanım kümesi, bir fonksiyona girdi olarak verilebilecek tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Soruda açıkça "Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 5$ doğrusal fonksiyonu" ifadesi geçmektedir. Bu ifade, fonksiyonun tanım kümesinin tüm gerçek sayılar kümesi, yani $\mathbb{R}$ olduğunu açıkça belirtir.
- Görüntü Kümesi Nedir?: Görüntü kümesi, tanım kümesindeki tüm $x$ değerleri için fonksiyonun alabileceği değerlerin (çıktıların) kümesidir. $f(x) = 5$ fonksiyonunda, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, fonksiyonun sonucu her zaman $5$ olur. Örneğin, $f(1) = 5$, $f(-10) = 5$, $f(\sqrt{2}) = 5$. Bu nedenle, fonksiyonun alabileceği tek değer $5$'tir. Dolayısıyla, görüntü kümesi sadece $\{5\}$ elemanından oluşan bir kümedir.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) Tanım kümesi $\{5\}$'tir: Bu ifade yanlıştır. Soruda belirtildiği gibi, fonksiyon gerçek sayılarda tanımlıdır, yani tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir.
- B) Görüntü kümesi $\mathbb{R}$'dir: Bu ifade yanlıştır. Fonksiyonun çıktısı her zaman $5$ olduğu için görüntü kümesi sadece $\{5\}$'tir, tüm gerçek sayılar değildir.
- C) Görüntü kümesi $\{5\}$'tir: Bu ifade doğrudur. Fonksiyonun tanımı gereği, her $x$ için $f(x) = 5$ olduğundan, fonksiyonun alabileceği tek değer $5$'tir. Bu değerlerin kümesi de $\{5\}$'tir.
- D) Tanım kümesi boş kümedir: Bu ifade yanlıştır. Fonksiyon gerçek sayılarda tanımlı olduğu için tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir ve boş küme değildir.
Bu analizlere göre doğru seçenek C'dir.
Cevap C seçeneğidir.
