9. Sınıf g(x) = |x| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri Nedir? Test 1

g(x) = |x| fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) x eksenini iki noktada keser
B) y eksenine göre simetriktir
C) İkinci ve dördüncü bölgelerden geçer
D) Asimptotu vardır

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, mutlak değer fonksiyonu olan $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiğinin özelliklerini inceleyeceğiz. Fonksiyonun grafiğini zihnimizde canlandırmak veya basitçe çizmek, doğru cevabı bulmamıza yardımcı olacaktır.

Öncelikle, $g(x) = |x|$ fonksiyonunu hatırlayalım:

• Eğer $x \ge 0$ ise, $g(x) = x$ olur. Bu, birinci bölgedeki $y=x$ doğrusunun bir parçasıdır.
• Eğer $x < 0$ ise, $g(x) = -x$ olur. Bu, ikinci bölgedeki $y=-x$ doğrusunun bir parçasıdır.

Bu iki parçayı birleştirdiğimizde, grafiğin orijinde $(0,0)$ birleşen, 'V' şeklinde bir yapıya sahip olduğunu görürüz. Şimdi seçenekleri tek tek değerlendirelim:

• A) x eksenini iki noktada keser

  Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için $g(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz. $|x| = 0$ denkleminin tek çözümü $x = 0$'dır. Bu da grafiğin x eksenini sadece orijin noktasında, yani tek bir noktada kestiği anlamına gelir. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.

• B) y eksenine göre simetriktir

  Bir fonksiyonun y eksenine göre simetrik olması için, her $x$ değeri için $g(-x) = g(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Bu tür fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Şimdi $g(x) = |x|$ için kontrol edelim:

  • $g(-x) = |-x|$
  • Mutlak değerin tanımına göre, $|-x| = |x|$'tir.
  • Yani, $g(-x) = |x| = g(x)$ eşitliği sağlanır.

  Bu durum, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun y eksenine göre simetrik olduğunu gösterir. Grafiği de incelersek, y ekseninin sağındaki kısmın (birinci bölge) solundaki kısmın (ikinci bölge) bir yansıması olduğunu görürüz. Dolayısıyla B seçeneği doğrudur.

• C) İkinci ve dördüncü bölgelerden geçer

  $g(x) = |x|$ fonksiyonunda, mutlak değerin tanımı gereği $g(x)$ değeri her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür (yani $g(x) \ge 0$). Bu demektir ki, fonksiyonun grafiği asla y ekseninin altına inmez. Dördüncü bölgede $y$ değerleri negatif olduğu için, fonksiyon dördüncü bölgeden geçmez. Grafiğimiz birinci ve ikinci bölgelerden geçer. Dolayısıyla C seçeneği yanlıştır.

• D) Asimptotu vardır

  Asimptot, bir eğrinin sonsuza giderken yaklaştığı bir doğrudur. $g(x) = |x|$ fonksiyonu iki düz çizgiden oluşur ve bu çizgiler sonsuza kadar devam eder. Bu fonksiyonun yatay, düşey veya eğik bir asimptotu yoktur. Fonksiyonun kendisi doğrusal parçalardan oluştuğu için, herhangi bir asimptotik davranış sergilemez. Dolayısıyla D seçeneği yanlıştır.

Yukarıdaki analizler sonucunda, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği için doğru olan ifadenin y eksenine göre simetrik olması olduğu anlaşılmıştır.

Cevap B seçeneğidir.