9. Sınıf g(x) = |x| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri Nedir? Test 1

g(x) = |x| fonksiyonu ile y = 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Bu soruda $g(x) = |x|$ fonksiyonu ile $y = 2$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi görelim.

• 1. Fonksiyonları Tanıyalım ve Grafiğini Zihnimizde Canlandıralım:

  $g(x) = |x|$ fonksiyonu, koordinat düzleminde bir 'V' şekli oluşturur. Köşesi orijin $(0,0)$ noktasındadır. $x \ge 0$ için $g(x) = x$, $x < 0$ için $g(x) = -x$ şeklindedir. $y = 2$ doğrusu ise $y$-eksenini $2$ noktasında kesen yatay bir doğrudur.

• 2. Kesişim Noktalarını Bulalım:

  $g(x) = |x|$ fonksiyonu ile $y = 2$ doğrusunun kesiştiği noktaları bulmak için $|x| = 2$ denklemini çözeriz. Bu denklemin iki çözümü vardır: $x = 2$ ve $x = -2$. Böylece, kesişim noktaları $(-2, 2)$ ve $(2, 2)$'dir.

• 3. Bölgenin Şeklini Belirleyelim:

  $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği orijinden yukarı doğru açılırken, $y = 2$ doğrusu bu 'V' şeklinin üstünü keser. Bu iki grafik arasında kalan bölge, köşeleri $(0,0)$, $(-2,2)$ ve $(2,2)$ olan bir üçgen şeklindedir.

• 4. Üçgenin Alanını Hesaplayalım:

  Bir üçgenin alanı $rac{1}{2} \times \text{taban uzunluğu} \times \text{yükseklik}$ formülü ile bulunur. Üçgenin tabanı $y = 2$ doğrusu üzerinde, $x = -2$ noktasından $x = 2$ noktasına kadar uzanır. Bu durumda taban uzunluğu $2 - (-2) = 4$ birimdir. Üçgenin yüksekliği ise tepe noktası olan orijin $(0,0)$ ile tabanın bulunduğu $y = 2$ doğrusu arasındaki dikey uzaklıktır. Yükseklik $2 - 0 = 2$ birimdir. Şimdi alanı hesaplayalım: Alan $= rac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ birimkaredir.

Cevap B seçeneğidir.