9. Sınıf Geometrik Dönüşümler Nedir, Örnekleri Test 1

Bir dikdörtgen önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra orijin etrafında 180° döndürülüyor.
Bu iki işlemin sırası değiştirilirse (önce 180° dönme, sonra y eksenine göre yansıma) elde edilen görüntü için ne söylenebilir?

A) İki durumda elde edilen görüntüler farklıdır
B) İki durumda elde edilen görüntüler aynıdır
C) Görüntüler birbirine göre ötelenmiştir
D) Görüntüler birbirine göre yansımasıdır

Bu soruda, bir dikdörtgene uygulanan iki farklı dönüşüm sırasının sonucunu karşılaştıracağız. Geometrik dönüşümlerin sırasının bazen önemli olduğunu, bazen de olmadığını görmek için harika bir örnek!

• Adım 1: Dönüşüm Kurallarını Belirleyelim

Bir noktanın koordinatları $ (x, y) $ olsun. Bu noktaya uygulanan dönüşümlerin kuralları şunlardır:

Y eksenine göre yansıma: $ (x, y) $ noktası $ (-x, y) $ noktasına dönüşür.

Orijin etrafında 180° döndürme: $ (x, y) $ noktası $ (-x, -y) $ noktasına dönüşür.

• Adım 2: Birinci Dönüşüm Sırasını Uygulayalım

Şimdi, bir dikdörtgenin herhangi bir köşesini temsil eden genel bir $ (x, y) $ noktası alalım ve birinci sıradaki dönüşümleri uygulayalım:

Sıra 1: Önce y eksenine göre yansıma, sonra orijin etrafında 180° döndürme.

1. Y eksenine göre yansıma: Başlangıç noktamız $ (x, y) $ idi. Y eksenine göre yansıdığında $ (-x, y) $ noktası olur.

2. Orijin etrafında 180° döndürme: Yansıma sonucu elde ettiğimiz $ (-x, y) $ noktasına bu dönüşümü uygulayalım. Orijin etrafında 180° döndürme kuralına göre, bir $ (a, b) $ noktası $ (-a, -b) $ olur. Burada $ a = -x $ ve $ b = y $ olduğu için, $ (-x, y) $ noktası $ (-(-x), -y) = (x, -y) $ noktasına dönüşür.

Yani, birinci dönüşüm sırasının sonunda $ (x, y) $ noktası $ (x, -y) $ noktasına ulaşır.

• Adım 3: İkinci Dönüşüm Sırasını Uygulayalım

Şimdi de dönüşümlerin sırasını değiştirerek aynı $ (x, y) $ noktasına uygulayalım:

Sıra 2: Önce orijin etrafında 180° döndürme, sonra y eksenine göre yansıma.

1. Orijin etrafında 180° döndürme: Başlangıç noktamız $ (x, y) $ idi. Orijin etrafında 180° döndürüldüğünde $ (-x, -y) $ noktası olur.

2. Y eksenine göre yansıma: Döndürme sonucu elde ettiğimiz $ (-x, -y) $ noktasına bu dönüşümü uygulayalım. Y eksenine göre yansıma kuralına göre, bir $ (a, b) $ noktası $ (-a, b) $ olur. Burada $ a = -x $ ve $ b = -y $ olduğu için, $ (-x, -y) $ noktası $ (-(-x), -y) = (x, -y) $ noktasına dönüşür.

Yani, ikinci dönüşüm sırasının sonunda da $ (x, y) $ noktası $ (x, -y) $ noktasına ulaşır.

• Adım 4: Sonuçları Karşılaştıralım

Her iki durumda da, başlangıçtaki $ (x, y) $ noktası, dönüşümlerin sırası ne olursa olsun, aynı nihai $ (x, -y) $ noktasına dönüşmüştür.

Bu durum, bir dikdörtgenin tüm köşeleri için geçerli olacağı için, her iki dönüşüm sırası da dikdörtgenin aynı nihai görüntüsünü oluşturacaktır.

Cevap B seçeneğidir.