10. Sınıf Aralarında Asal Sayıların EBOB ve EKOKu Test 1

Aralarında asal $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $rac{EKOK(a,b)}{EBOB(a,b)} = 72$ olduğuna göre, $a+b$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 17
B) 73
C) 25
D) 1

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Temel Bilgileri Hatırlayalım
• $a$ ve $b$ aralarında asal ise $EBOB(a, b) = 1$ olur.
• $EKOK(a, b) \cdot EBOB(a, b) = a \cdot b$ olduğunu hatırlayalım.
• Adım 2: Verilenleri Kullanalım
• $\frac{EKOK(a,b)}{EBOB(a,b)} = 72$ verilmiş.
• $EBOB(a, b) = 1$ olduğundan, $EKOK(a, b) = 72$ olur.
• Adım 3: $a \cdot b$ Değerini Bulalım
• $EKOK(a, b) \cdot EBOB(a, b) = a \cdot b$ eşitliğinden, $72 \cdot 1 = a \cdot b$ olur.
• Yani $a \cdot b = 72$
• Adım 4: $a$ ve $b$ Değerlerini Bulmaya Çalışalım
• $a$ ve $b$ aralarında asal ve çarpımları 72 olan sayıları bulmalıyız.
• 72'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
• Olası $(a, b)$ çiftleri: (1, 72), (8, 9)
• Adım 5: $a + b$ Değerlerini Hesaplayalım
• $(a, b) = (1, 72)$ için $a + b = 1 + 72 = 73$
• $(a, b) = (8, 9)$ için $a + b = 8 + 9 = 17$
• Adım 6: Şıklardaki Değerlerle Karşılaştıralım
• Bulduğumuz $a+b$ değerleri 73 ve 17'dir. Şıklarda 17 ve 73 var.
• Şıklarda 1 de var. Acaba $a+b = 1$ olabilir mi? $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olduğundan $a+b=1$ olamaz.
• Şıklarda 25 de var. Acaba $a+b = 25$ olabilir mi? Eğer $a+b=25$ ise, $a \cdot b = 72$ şartını sağlayan aralarında asal $a$ ve $b$ sayıları yoktur.

Cevap C seçeneğidir.