Aralarında asal $A$ ve $B$ pozitif tam sayıları için $A \cdot B = 105$ ve $A < B$ koşulu sağlanmaktadır. Buna göre, $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?
A) 74
B) 80
C) 84
D) 92
İşte bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:
Öncelikle soruyu dikkatlice okuyalım ve ne istediğini anlayalım. Bizden $A \cdot B = 105$ eşitliğini sağlayan, aralarında asal ve $A < B$ koşulunu sağlayan $A$ ve $B$ pozitif tam sayıları için $A+B$ toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı bulmamız isteniyor.
* 105 sayısının çarpanlarını bulalım: $105 = 1 \cdot 105 = 3 \cdot 35 = 5 \cdot 21 = 7 \cdot 15$.
* Şimdi bu çarpan çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyelim:
* $1$ ve $105$ sayıları aralarında asaldır.
* $3$ ve $35$ sayıları aralarında asaldır.
* $5$ ve $21$ sayıları aralarında asaldır.
* $7$ ve $15$ sayıları aralarında asaldır.
* $A < B$ koşulunu sağlayan ve aralarında asal olan $A$ ve $B$ çiftlerini listeleyelim:
* $A = 1$, $B = 105$
* $A = 3$, $B = 35$
* $A = 5$, $B = 21$
* $A = 7$, $B = 15$
* Şimdi her bir $(A, B)$ çifti için $A+B$ toplamını hesaplayalım:
* $1 + 105 = 106$
* $3 + 35 = 38$
* $5 + 21 = 26$
* $7 + 15 = 22$
* $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer $106$, en küçük değer ise $22$'dir.
* Son olarak, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkı bulalım: $106 - 22 = 84$.
Cevap C seçeneğidir.
