Bir sıcaklık dağılımı T(x,y) = 50 - 2x² - 3y² fonksiyonuyla modelleniyor.
(2,1) noktasında hangi yönde hareket edilirse sıcaklık en hızlı düşer?
A) (8,6) yönünde
B) (-8,-6) yönünde
C) (2,1) yönünde
D) (-2,-1) yönünde
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu problemde, bir sıcaklık dağılımı fonksiyonu verilmiş ve belirli bir noktada sıcaklığın en hızlı hangi yönde düşeceğini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, çok değişkenli fonksiyonların gradyanı kavramıyla çözülür.
- Adım 1: Gradyan Kavramını Anlayalım
- Bir $T(x,y)$ fonksiyonunun gradyanı, $\nabla T$ ile gösterilir ve fonksiyonun en hızlı arttığı yönü ve bu artışın büyüklüğünü veren bir vektördür. Matematiksel olarak, $\nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right)$ şeklinde tanımlanır.
- Eğer gradyan en hızlı artış yönünü gösteriyorsa, o zaman gradyanın tersi (negatifi), yani $-\nabla T$, fonksiyonun en hızlı azaldığı (düştüğü) yönü gösterir. Bizim problemimizde sıcaklığın en hızlı düştüğü yönü aradığımız için $-\nabla T$ vektörünü bulmamız gerekiyor.
- Adım 2: Sıcaklık Fonksiyonunun Kısmi Türevlerini Hesaplayalım
- Verilen sıcaklık dağılımı fonksiyonu $T(x,y) = 50 - 2x^2 - 3y^2$'dir.
- Öncelikle $x$'e göre kısmi türevi bulalım (y'yi sabit kabul ederek):
- $\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(50 - 2x^2 - 3y^2) = 0 - 2(2x) - 0 = -4x$
- Şimdi de $y$'ye göre kısmi türevi bulalım (x'i sabit kabul ederek):
- $\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(50 - 2x^2 - 3y^2) = 0 - 0 - 3(2y) = -6y$
- Adım 3: Gradyan Vektörünü Oluşturalım
- Kısmi türevleri kullanarak gradyan vektörünü yazabiliriz:
- $\nabla T(x,y) = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) = (-4x, -6y)$
- Adım 4: Gradyanı Belirtilen Noktada Değerlendirelim
- Sıcaklığın en hızlı düştüğü yönü $(2,1)$ noktasında bulmamız isteniyor. Bu noktayı gradyan vektörüne yerleştirelim:
- $\nabla T(2,1) = (-4(2), -6(1)) = (-8, -6)$
- Bu vektör, $(2,1)$ noktasında sıcaklığın en hızlı arttığı yönü gösterir.
- Adım 5: En Hızlı Düşüş Yönünü Bulalım
- Sıcaklığın en hızlı düştüğü yön, gradyan vektörünün tersidir:
- $-\nabla T(2,1) = -(-8, -6) = (8, 6)$
- Bu durumda, $(2,1)$ noktasında $(8,6)$ yönünde hareket edilirse sıcaklık en hızlı düşer.
- Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz $(8,6)$ vektörü, A seçeneğindeki vektörle aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
