Soru:
\( T(x, y, z) = x^2 + yz - e^{xy} \) fonksiyonunun gradyanını (\( \nabla T \)) bulunuz.
Çözüm:
🔥 Bu sefer üç değişkenli bir fonksiyonumuz var. Gradyan vektörü üç bileşenli olacak: \( \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) \)
- ➡️ Adım 1: \( x \)'e göre kısmi türev alalım. \( y \) ve \( z \) sabittir.
\( \frac{\partial T}{\partial x} = 2x - y \cdot e^{xy} \)
(Zincir kuralı: \( e^{xy} \)'nin türevi \( e^{xy} \cdot y \) olur.)
- ➡️ Adım 2: \( y \)'ye göre kısmi türev alalım. \( x \) ve \( z \) sabittir.
\( \frac{\partial T}{\partial y} = z - x \cdot e^{xy} \)
(Zincir kuralı: \( e^{xy} \)'nin türevi \( e^{xy} \cdot x \) olur.)
- ➡️ Adım 3: \( z \)'ye göre kısmi türev alalım. Bu en kolayı! \( x \) ve \( y \) sabittir.
\( \frac{\partial T}{\partial z} = y \)
- ➡️ Adım 4: Tüm bileşenleri birleştirerek gradyan vektörünü yazalım.
✅ Sonuç: \( \nabla T = \left( 2x - ye^{xy},\ z - xe^{xy},\ y \right) \)
