Soru:
\( f(x, y) = x^3 - 4xy \) fonksiyonunun \( P(2, 1) \) noktasında en hızlı artış yönünü ve bu yöndeki türevin değerini (maksimum değişim oranını) bulunuz.
Çözüm:
🚀 Bir fonksiyonun bir noktada en hızlı artış yönü, o noktadaki gradyan vektörünün kendisidir. Maksimum değişim oranı ise gradyan vektörünün büyüklüğüdür (normu).
- ➡️ Adım 1: Fonksiyonun gradyanını bulalım.
\( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 4y \), \( \frac{\partial f}{\partial y} = -4x \)
\( \nabla f = (3x^2 - 4y, -4x) \)
- ➡️ Adım 2: Gradyanı \( P(2, 1) \) noktasında hesaplayalım.
\( \nabla f(2, 1) = (3 \cdot (2)^2 - 4 \cdot 1, -4 \cdot 2) = (12 - 4, -8) = (8, -8) \)
📌 En hızlı artış yönü bu vektördür: \( (8, -8) \)
- ➡️ Adım 3: Maksimum değişim oranını (yön türevinin maksimum değerini) bulmak için bu gradyan vektörünün uzunluğunu hesaplayalım.
\( \| \nabla f(2, 1) \| = \sqrt{(8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \)
- ➡️ Adım 4 (Ek Bilgi): En hızlı artış yönünü birim vektör olarak ifade etmek istersek, gradyan vektörünü kendi normuna böleriz.
\( \vec{u} = \frac{(8, -8)}{8\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \)
✅ Sonuç: En hızlı artış yönü \( (8, -8) \) vektörü yönündedir ve maksimum değişim oranı \( 8\sqrt{2} \)'dir.
