Soru:
Bir \( g(x, y) = \ln(x^2 + y) \) fonksiyonu ve \( \vec{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \) birim vektörü verilsin. Bu fonksiyonun \( P(2, 1) \) noktasında \( \vec{u} \) yönündeki türevini (\( D_{\vec{u}}g(2,1) \)) bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir yöndeki türev, gradyan vektörü ile o yönün birim vektörünün skaler (nokta) çarpımına eşittir: \( D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} \).
- ➡️ Adım 1: \( g(x, y) \) fonksiyonunun gradyanını bulalım.
\( \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y} \), \( \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y} \)
Yani, \( \nabla g = \left( \frac{2x}{x^2 + y}, \frac{1}{x^2 + y} \right) \)
- ➡️ Adım 2: Gradyanı \( P(2, 1) \) noktasında hesaplayalım.
\( x^2 + y = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)
\( \nabla g(2, 1) = \left( \frac{2 \cdot 2}{5}, \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{4}{5}, \frac{1}{5} \right) \)
- ➡️ Adım 3: Yön türevini hesaplamak için gradyan vektörü ile birim vektör \( \vec{u} \)'nün nokta çarpımını alalım.
\( D_{\vec{u}}g(2,1) = \nabla g(2,1) \cdot \vec{u} = \left( \frac{4}{5}, \frac{1}{5} \right) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \)
- ➡️ Adım 4: Nokta çarpımını yapalım.
\( D_{\vec{u}}g(2,1) = \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} \right) = \frac{12}{25} + \frac{4}{25} = \frac{16}{25} \)
✅ Sonuç: \( D_{\vec{u}}g(2,1) = \frac{16}{25} \)
