Matematikte, özellikle vektör analizi alanında, grad (veya gradyan), bir skaler alanın yönlü türevini en büyük yaptığı yönü ve bu maksimum değişim oranını veren bir vektörel operatördür. Basitçe ifade etmek gerekirse, grad bir fonksiyonun en hızlı arttığı yönü ve ne kadar hızlı arttığını gösteren bir vektördür.
Üç boyutlu uzayda \((x, y, z)\) koordinat sisteminde tanımlanmış bir \(f(x, y, z)\) skaler fonksiyonunun gradyanı, aşağıdaki gibi tanımlanır:
\( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \)
Buradaki \(\nabla\) (nabla) sembolü, gradyan operatörünü temsil eder. Gradyan, fonksiyonun her bir değişkene göre kısmi türevlerinden oluşan bir vektördür.
İki boyutlu daha basit bir örnek üzerinden gidelim. \(f(x, y) = x^2 + y^2\) fonksiyonunu ele alalım.
Öncelikle kısmi türevleri hesaplarız:
Buna göre, bu fonksiyonun gradyanı:
\( \nabla f = (2x, 2y) \)
Örneğin, \((1, 2)\) noktasındaki gradyan değeri \( \nabla f(1, 2) = (2, 4) \) olur. Bu vektör, fonksiyonun bu noktada en hızlı \((2, 4)\) yönünde arttığını ve bu yöndeki değişim oranının büyüklüğünün \(\sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{20}\) olduğunu söyler.
Gradyan, birçok alanda temel bir araçtır:
Özetle, gradyan, bir skaler alanın uzaydaki değişimini en iyi şekilde tarif eden ve bu değişimin yönü ile miktarı hakkında bilgi veren temel bir vektör kavramıdır.
