Soru:
Bir \( f(x, y) = 3x^2y + y^3 \) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun \( P(1, 2) \) noktasındaki gradyan vektörünü (\( \nabla f \)) bulunuz.
Çözüm:
🎯 Gradyan, bir fonksiyonun kısmi türevlerinden oluşan bir vektördür. \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \)
- ➡️ Adım 1: \( f(x, y) \) fonksiyonunun \( x \)'e göre kısmi türevini alalım. \( y \)'yi sabit bir sayı gibi düşünürüz.
\( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y + y^3) = 6xy \)
- ➡️ Adım 2: Şimdi \( y \)'ye göre kısmi türevini alalım. \( x \)'i sabit bir sayı gibi düşünürüz.
\( \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y + y^3) = 3x^2 + 3y^2 \)
- ➡️ Adım 3: Gradyan vektörünü yazalım.
\( \nabla f = (6xy, 3x^2 + 3y^2) \)
- ➡️ Adım 4: \( P(1, 2) \) noktasını, yani \( x=1 \) ve \( y=2 \) değerlerini gradyan vektöründe yerine koyalım.
\( \nabla f(1, 2) = (6 \cdot 1 \cdot 2, 3 \cdot (1)^2 + 3 \cdot (2)^2) = (12, 3 + 12) = (12, 15) \)
✅ Sonuç olarak, \( \nabla f(1, 2) = (12, 15) \) vektörüdür.
