Verilen fonksiyon $f: R \rightarrow R$, $f(x) = 3^x$ bir üstel fonksiyondur. Üstel fonksiyonların görüntü kümesini (yani fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerini) bulmak için temel özelliklerini adım adım inceleyelim.
- Üstel Fonksiyonun Tanımı: Genel olarak, bir $a$ tabanı için ($a > 0$ ve $a \neq 1$), $f(x) = a^x$ şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Bizim fonksiyonumuzda taban $a = 3$'tür.
- Tabanın Pozitif Olması: Tabanımız $3$ olduğu için, $3 > 0$'dır. Bu, $3^x$ ifadesinin sonucunun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Yani, $f(x) > 0$ olmak zorundadır. Bir üstel fonksiyonun değeri asla sıfır veya negatif olamaz.
- $x$ Değerleri Çok Küçük Negatif Olduğunda: $x$ değeri çok küçük negatif sayılar aldığında (yani $x \to -\infty$), $3^x$ değeri $0$'a yaklaşır. Örneğin:
- $f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$
- $f(-2) = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
- $f(-100) = 3^{-100}$ çok küçük pozitif bir sayıdır.
Bu durumda, fonksiyonun değeri $0$'a çok yaklaşır ama hiçbir zaman tam olarak $0$ olmaz.
- $x$ Değerleri Büyüdüğünde: $x$ değeri büyüdükçe (yani $x \to \infty$), $3^x$ değeri de büyür ve sonsuza gider. Örneğin:
- $f(1) = 3^1 = 3$
- $f(2) = 3^2 = 9$
- $f(100) = 3^{100}$ çok büyük bir sayıdır.
Bu durumda, fonksiyonun değeri pozitif sonsuza doğru artar.
- Görüntü Kümesinin Belirlenmesi: Yukarıdaki gözlemlerden yola çıkarak, $f(x) = 3^x$ fonksiyonunun alabileceği değerlerin $0$'dan büyük ve sonsuza kadar tüm pozitif gerçek sayılar olduğunu anlarız. Fonksiyonun değeri $0$'a istediğimiz kadar yaklaşabilir ancak $0$ olamaz, ve pozitif yönde sonsuza kadar gidebilir.
- Aralık Gösterimi: Bu durum, matematiksel olarak $(0, \infty)$ aralığı ile ifade edilir. Parantezler, $0$ ve $\infty$ değerlerinin aralığa dahil olmadığını gösterir.
Bu nedenle, $f(x) = 3^x$ fonksiyonunun görüntü kümesi $(0, \infty)$'dur.
Cevap A seçeneğidir.
