10. Sınıf Pascal Üçgeni ve Kombinasyon İlişkisi Test 1

Bir sınıfta 5 erkek ve 4 kız öğrenci vardır. Bu öğrenciler arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en az bir kız öğrenci bulunma koşuluyla kaç farklı ekip oluşturulabilir?

A) 80
B) 74
C) 64
D) 56

Bu soruda, belirli bir koşulu sağlayan ekip oluşturma sayısını bulmamız isteniyor. Kombinasyon (seçim) problemlerinde bu tür koşullar sıkça karşımıza çıkar. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Toplam Öğrenci Sayısını ve Ekip Büyüklüğünü Belirleyelim.

  Sınıfta 5 erkek ve 4 kız öğrenci var. Toplam öğrenci sayısı $5 + 4 = 9$'dur. Biz 3 kişilik bir ekip oluşturacağız.

• Adım 2: "En Az Bir Kız Öğrenci" Koşulunu Anlayalım.

  "Ekipte en az bir kız öğrenci bulunma" koşulu, ekipte 1 kız, 2 kız veya 3 kız öğrenci olabileceği anlamına gelir. Bu tür durumlarda, tüm olası ekip sayısından, koşulu sağlamayan (yani hiç kız öğrenci olmayan) ekip sayısını çıkarmak genellikle daha kolay ve hızlı bir yöntemdir.

• Adım 3: Toplam Kaç Farklı 3 Kişilik Ekip Oluşturulabileceğini Hesaplayalım.

  Toplam 9 öğrenci arasından 3 öğrenciyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulalım. Bu bir kombinasyon problemidir ve $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ formülü ile hesaplanır.

  Burada $n=9$ (toplam öğrenci) ve $k=3$ (ekip büyüklüğü) olduğundan:

  $C(9, 3) = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}$

  $C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

  Yani, toplamda 84 farklı 3 kişilik ekip oluşturulabilir.

• Adım 4: Koşulu Sağlamayan (Hiç Kız Öğrenci Olmayan) Ekip Sayısını Hesaplayalım.

  Ekipte hiç kız öğrenci olmaması demek, seçilen 3 öğrencinin tamamının erkek olması demektir. Sınıfta 5 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu 5 erkek öğrenci arasından 3 erkek öğrenciyi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulalım:

  $C(5, 3) = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}$

  $C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{3 \times 2 \times 1 \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 5 \times 2 = 10$

  Yani, 10 farklı ekipte hiç kız öğrenci bulunmaz (tümü erkektir).

• Adım 5: "En Az Bir Kız Öğrenci" Bulunan Ekip Sayısını Bulalım.

  Şimdi, toplam ekip sayısından, hiç kız öğrenci bulunmayan ekip sayısını çıkararak istediğimiz koşulu sağlayan ekip sayısını bulabiliriz:

  İstenen Ekip Sayısı = (Toplam Ekip Sayısı) - (Hiç Kız Öğrenci Olmayan Ekip Sayısı)

  İstenen Ekip Sayısı = $84 - 10 = 74$

  Bu durumda, ekipte en az bir kız öğrenci bulunma koşuluyla 74 farklı ekip oluşturulabilir.

Cevap B seçeneğidir.