Kütlesi m, yarıçapı r olan bir kürenin eylemsizlik momenti \(I = \frac{2}{5}mr^2\)'dir. Bu küre kaymadan yuvarlanarak ilerliyor ve merkezinin hızı v ise, toplam kinetik enerjisi nedir?
A) \(\frac{1}{2}mv^2\)
B) \(\frac{7}{10}mv^2\)
C) \(\frac{3}{5}mv^2\)
D) \(\frac{9}{10}mv^2\)
Kaymadan yuvarlanan bir cismin toplam kinetik enerjisi, iki farklı enerji türünün toplamından oluşur:
- Öteleme (Translasyonel) Kinetik Enerjisi: Cismin kütle merkezinin bir yerden başka bir yere hareket etmesinden kaynaklanan enerjidir.
- Dönme (Rotasyonel) Kinetik Enerjisi: Cismin kendi ekseni etrafında dönmesinden kaynaklanan enerjidir.
Bu iki enerjinin toplamı, cismin toplam kinetik enerjisini verir: $KE_{toplam} = KE_{öteleme} + KE_{dönme}$. Şimdi bu bileşenleri adım adım hesaplayalım.
- 1. Öteleme Kinetik Enerjisini Hesaplama ($KE_{öteleme}$):
- Bir cismin öteleme kinetik enerjisi, kütlesi $m$ ve kütle merkezinin hızı $v$ ise aşağıdaki formülle ifade edilir:
- $KE_{öteleme} = \frac{1}{2}mv^2$
- Soruda kürenin kütlesi $m$ ve merkezinin hızı $v$ olarak verildiği için, öteleme kinetik enerjisi doğrudan bu formüldür.
- 2. Dönme Kinetik Enerjisini Hesaplama ($KE_{dönme}$):
- Bir cismin dönme kinetik enerjisi, eylemsizlik momenti $I$ ve açısal hızı $\omega$ ise aşağıdaki formülle bulunur:
- $KE_{dönme} = \frac{1}{2}I\omega^2$
- Soruda kürenin eylemsizlik momenti $I = \frac{2}{5}mr^2$ olarak verilmiştir.
- Cismin kaymadan yuvarlanması koşulu, cismin öteleme hızı $v$ ile açısal hızı $\omega$ arasında önemli bir ilişki kurar. Bu ilişki şöyledir: $v = r\omega$.
- Bu ilişkiden açısal hızı $\omega$ yalnız bırakırsak: $\omega = \frac{v}{r}$ olur.
- Şimdi $I$ ve $\omega$ değerlerini dönme kinetik enerjisi formülünde yerine koyalım:
- $KE_{dönme} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2$
- $KE_{dönme} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}mr^2 \cdot \frac{v^2}{r^2}$
- Burada $r^2$ terimleri birbirini götürür ve sadeleştirme yaparız:
- $KE_{dönme} = \frac{1}{5}mv^2$
- 3. Toplam Kinetik Enerjiyi Hesaplama ($KE_{toplam}$):
- Toplam kinetik enerji, öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamıdır:
- $KE_{toplam} = KE_{öteleme} + KE_{dönme}$
- $KE_{toplam} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
- Bu iki ifadeyi toplamak için paydaları eşitleyelim. Ortak payda 10'dur:
- $KE_{toplam} = \frac{5}{10}mv^2 + \frac{2}{10}mv^2$
- $KE_{toplam} = \left( \frac{5}{10} + \frac{2}{10} \right) mv^2$
- $KE_{toplam} = \frac{7}{10}mv^2$
Kürenin toplam kinetik enerjisi $\frac{7}{10}mv^2$ olarak bulunmuştur. Bu sonuç, verilen seçeneklerden B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
