Dönme kinetik enerjisi nedir (E_dönme = 1/2.I.ω²) Test 1

Aynı maddeden yapılmış, kalınlıkları eşit fakat yarıçapları farklı iki diskin dönme kinetik enerjilerini karşılaştırmak isteyen bir öğrenci, aynı açısal hızla döndüklerini gözlemliyor. Buna göre hangi diskin dönme kinetik enerjisi daha fazladır?

A) Yarıçapı küçük olanın
B) Yarıçapı büyük olanın
C) İkisinin de eşit
D) Kütleleri bilinmeden karşılaştırılamaz

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, aynı maddeden yapılmış ve aynı açısal hızla dönen, ancak yarıçapları farklı iki diskin dönme kinetik enerjilerini karşılaştıracağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Dönme Kinetik Enerjisi Formülü:

  Bir cismin dönme kinetik enerjisi, dönme eylemsizlik momenti ($I$) ve açısal hızının ($\omega$) karesiyle doğru orantılıdır. Formülü şöyledir:

  $KE_{dönme} = \frac{1}{2} I \omega^2$

  Soruda disklerin aynı açısal hızla ($\omega$) döndüğü belirtildiği için, dönme kinetik enerjisini karşılaştırmak için dönme eylemsizlik momentlerini ($I$) karşılaştırmamız yeterli olacaktır.

• 2. Diskin Dönme Eylemsizlik Momenti Formülü:

  Düzgün bir disk için, merkezinden geçen eksen etrafındaki dönme eylemsizlik momenti ($I$), kütlesi ($m$) ve yarıçapının ($R$) karesiyle doğru orantılıdır:

  $I = \frac{1}{2} m R^2$

  Bu formülde kütle ($m$) de yarıçapa bağlı olduğu için, kütleyi yarıçap cinsinden ifade etmemiz gerekiyor.

• 3. Diskin Kütlesini Yarıçap Cinsinden İfade Etme:

  Diskler aynı maddeden yapıldığı ve kalınlıkları eşit olduğu için, bir diskin kütlesi ($m$), yoğunluğu ($\rho$), taban alanı ($\pi R^2$) ve kalınlığı ($h$) ile bulunur:

  $m = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi R^2 h)$

  Burada $\rho$ (yoğunluk) ve $h$ (kalınlık) her iki disk için de aynı ve sabittir. Dolayısıyla, diskin kütlesi yarıçapının karesiyle doğru orantılıdır: $m \propto R^2$.

• 4. Dönme Eylemsizlik Momentini Yarıçap Cinsinden Yeniden Yazma:

  Şimdi kütle ($m$) ifadesini dönme eylemsizlik momenti ($I$) formülüne yerine yazalım:

  $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 h) R^2$

  $I = \frac{1}{2} \rho \pi h R^4$

  Bu formülde $\frac{1}{2} \rho \pi h$ kısmı sabit bir değerdir. Yani, diskin dönme eylemsizlik momenti, yarıçapının dördüncü kuvvetiyle ($R^4$) doğru orantılıdır: $I \propto R^4$.

• 5. Dönme Kinetik Enerjisini Yarıçap Cinsinden İfade Etme ve Karşılaştırma:

  Son olarak, dönme eylemsizlik momenti ($I$) ifadesini dönme kinetik enerjisi formülüne yerine yazalım:

  $KE_{dönme} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \rho \pi h R^4) \omega^2$

  $KE_{dönme} = \frac{1}{4} \rho \pi h R^4 \omega^2$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{1}{4} \rho \pi h$ ve $\omega^2$ ifadeleri her iki disk için de sabittir. Bu durumda, dönme kinetik enerjisi yarıçapın dördüncü kuvvetiyle ($R^4$) doğru orantılıdır: $KE_{dönme} \propto R^4$.

  Bu orantı bize şunu söyler: Yarıçapı daha büyük olan diskin dönme eylemsizlik momenti çok daha büyük olacak ve dolayısıyla dönme kinetik enerjisi de çok daha büyük olacaktır.

Bu analiz sonucunda, yarıçapı büyük olan diskin dönme kinetik enerjisinin daha fazla olduğunu anlıyoruz.

Cevap B seçeneğidir.