Bir araştırmada iki farklı şehirdeki günlük ortalama sıcaklıklar kaydedilmiştir. Şehir A için sıcaklık değerleri: 18, 20, 22, 19, 21 ve Şehir B için: 15, 25, 17, 23, 20'dir. Hangi şehrin sıcaklık verilerinin varyansı daha büyüktür?
A) Şehir A
B) Şehir B
C) İkisinin varyansı eşittir
D) Hesaplanamaz
Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, istatistikte veri setlerinin ne kadar dağınık olduğunu anlamamızı sağlayan önemli bir ölçü olan varyansı hesaplamayı öğreneceğiz. Varyans, verilerin ortalamadan ne kadar saptığını gösterir. Varyansı büyük olan bir veri seti, ortalamadan daha fazla uzaklaşan değerlere sahip demektir.
Varyans hesaplamak için aşağıdaki adımları izlemeliyiz:
- 1. Adım: Veri setinin ortalamasını (aritmetik ortalama) bulun.
- 2. Adım: Her bir veri noktasından ortalamayı çıkarın.
- 3. Adım: Elde ettiğiniz farkların her birini karelerini alın. (Negatif değerlerden kurtulmak ve büyük sapmaları daha çok vurgulamak için.)
- 4. Adım: Kareleri alınmış farkları toplayın.
- 5. Adım: Toplamı, veri noktası sayısının bir eksiğine ($n-1$) bölün. (Bu, örneklem varyansı için kullanılan formüldür ve genellikle bu tür sorularda tercih edilir.)
Varyans formülü şu şekildedir: $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
- Burada $s^2$ varyansı,
- $x_i$ her bir veri noktasını,
- $\bar{x}$ veri setinin ortalamasını,
- $n$ veri noktası sayısını ifade eder.
Şimdi Şehir A için varyansı hesaplayalım:
Şehir A sıcaklık değerleri: 18, 20, 22, 19, 21
- 1. Adım: Ortalamayı ($\bar{x}_A$) bulalım.
- $\bar{x}_A = \frac{18 + 20 + 22 + 19 + 21}{5} = \frac{100}{5} = 20$
- 2. Adım: Her bir değerden ortalamayı çıkaralım.
- $18 - 20 = -2$
- $20 - 20 = 0$
- $22 - 20 = 2$
- $19 - 20 = -1$
- $21 - 20 = 1$
- 3. Adım: Farkların karelerini alalım.
- $(-2)^2 = 4$
- $(0)^2 = 0$
- $(2)^2 = 4$
- $(-1)^2 = 1$
- $(1)^2 = 1$
- 4. Adım: Kareleri alınmış farkları toplayalım.
- $4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 10$
- 5. Adım: Toplamı ($n-1$) sayısına bölelim. ($n=5$ olduğu için $n-1=4$)
- Varyans ($s_A^2$) $= \frac{10}{4} = 2.5$
Şehir A'nın sıcaklık verilerinin varyansı $2.5$'tir.
Şimdi Şehir B için varyansı hesaplayalım:
Şehir B sıcaklık değerleri: 15, 25, 17, 23, 20
- 1. Adım: Ortalamayı ($\bar{x}_B$) bulalım.
- $\bar{x}_B = \frac{15 + 25 + 17 + 23 + 20}{5} = \frac{100}{5} = 20$
- 2. Adım: Her bir değerden ortalamayı çıkaralım.
- $15 - 20 = -5$
- $25 - 20 = 5$
- $17 - 20 = -3$
- $23 - 20 = 3$
- $20 - 20 = 0$
- 3. Adım: Farkların karelerini alalım.
- $(-5)^2 = 25$
- $(5)^2 = 25$
- $(-3)^2 = 9$
- $(3)^2 = 9$
- $(0)^2 = 0$
- 4. Adım: Kareleri alınmış farkları toplayalım.
- $25 + 25 + 9 + 9 + 0 = 68$
- 5. Adım: Toplamı ($n-1$) sayısına bölelim. ($n=5$ olduğu için $n-1=4$)
- Varyans ($s_B^2$) $= \frac{68}{4} = 17$
Şehir B'nin sıcaklık verilerinin varyansı $17$'dir.
Sonuç:
- Şehir A'nın varyansı: $2.5$
- Şehir B'nin varyansı: $17$
Gördüğümüz gibi, Şehir B'nin varyansı ($17$), Şehir A'nın varyansından ($2.5$) daha büyüktür. Bu durum, Şehir B'deki sıcaklıkların ortalamadan daha fazla sapma gösterdiğini, yani daha geniş bir aralıkta değiştiğini ifade eder. Şehir A'daki sıcaklıklar ise ortalamaya daha yakın ve birbirine daha benzerdir.
Cevap B seçeneğidir.
