Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları normal dağılım göstermektedir. Ortalama boy 165 cm, standart sapma 6 cm'dir. Buna göre 171 cm'den uzun öğrenci yüzdesi yaklaşık olarak nedir? (Normal dağılımda ortalamanın 1 standart sapma üstü %16'dır)
A) %16Bu soruda, normal dağılım gösteren bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları ile ilgili bir yüzde hesaplaması yapacağız. Normal dağılım, verilerin ortalama etrafında simetrik olarak dağıldığı bir durumdur ve birçok doğal olayı modellemek için kullanılır. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
Soruda bize verilen bilgiler şunlardır:
Ortalama boy ($\mu$) = $165 \text{ cm}$
Standart sapma ($\sigma$) = $6 \text{ cm}$
Aradığımız değer: $171 \text{ cm}$'den uzun öğrenci yüzdesi.
Önemli ipucu: Normal dağılımda ortalamanın 1 standart sapma üstü $\%16$'dır.
Öncelikle, $171 \text{ cm}$'lik boy uzunluğunun ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu ve bu uzaklığın kaç standart sapmaya denk geldiğini bulmalıyız.
Ortalama boy: $165 \text{ cm}$
Hedef boy: $171 \text{ cm}$
Fark: $171 \text{ cm} - 165 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$
Gördüğümüz gibi, $171 \text{ cm}$ boy, ortalama boydan $6 \text{ cm}$ daha uzundur.
Standart sapmamız $6 \text{ cm}$ olduğuna göre, bulduğumuz $6 \text{ cm}$'lik fark, tam olarak 1 standart sapmaya eşittir.
Fark: $6 \text{ cm}$
Standart sapma ($\sigma$): $6 \text{ cm}$
Yani, $171 \text{ cm}$ boy, ortalamanın ($165 \text{ cm}$) 1 standart sapma ($1\sigma$) üstündedir. Matematiksel olarak $\mu + 1\sigma$ diyebiliriz.
Soruda bize çok değerli bir ipucu verilmişti: "Normal dağılımda ortalamanın 1 standart sapma üstü $\%16$'dır".
Bizim bulduğumuz $171 \text{ cm}$ değeri de tam olarak ortalamanın 1 standart sapma üstüne denk geldiği için, bu değerden daha uzun olan öğrenci yüzdesi doğrudan bu ipucu ile bulunabilir.
Eğer bu ipucu verilmeseydi, normal dağılımın 68-95-99.7 kuralını (Empirik Kural) kullanırdık:
Verilerin yaklaşık $\%68$'i ortalamanın $\pm 1$ standart sapma içinde yer alır.
Bu durumda, ortalamanın $\pm 1$ standart sapma dışında kalan kısım $100\% - 68\% = 32\%$ olur.
Bu $\%32$'lik kısım, dağılımın iki ucuna (kuyruklarına) eşit olarak dağılır. Yani, ortalamanın 1 standart sapma altındaki kısım ve ortalamanın 1 standart sapma üstündeki kısım.
Dolayısıyla, ortalamanın 1 standart sapma üstündeki değerlerden daha büyük olan kısım $32\% / 2 = 16\%$ olacaktır.
Her iki durumda da sonuç aynıdır.
Buna göre, $171 \text{ cm}$'den uzun öğrenci yüzdesi yaklaşık olarak $\%16$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
