Bir önermenin karşıt tersi nedir Test 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya "p ⇒ q" yazmış ve öğrencilerden bu önermenin karşıt tersini bulmalarını istemiştir. Dört öğrencinin verdiği cevaplar şöyledir:
Ayşe: "q ⇒ p"
Mehmet: "¬p ⇒ ¬q"
Zeynep: "¬q ⇒ ¬p"
Can: "p ∧ q"
Hangi öğrenci doğru cevabı vermiştir?

A) Ayşe
B) Mehmet
C) Zeynep
D) Can

Merhaba sevgili öğrenciler!

Mantıkta önermelerin farklı formlarını anlamak çok önemlidir. Şimdi, "p ⇒ q" önermesinin karşıt tersini adım adım nasıl bulacağımızı ve hangi arkadaşımızın doğru cevabı verdiğini inceleyelim.

• Verilen Önerme: Öğretmenimiz tahtaya "$p \Rightarrow q$" önermesini yazmıştır. Bu önerme, "$p$ ise $q$" anlamına gelir. Burada $p$ hipotez (varsayım), $q$ ise sonuçtur.
• Karşıt Tersi Nedir? Bir "$P \Rightarrow Q$" şeklindeki önermenin karşıt tersini bulmak için iki adım uygularız:
  • Öncelikle, önermenin hipotezini ($P$) ve sonucunu ($Q$) olumsuzlarız (değillerini alırız). Yani $\neg P$ ve $\neg Q$ olur.
  • Daha sonra, olumsuzladığımız bu hipotez ve sonucun yerlerini değiştiririz. Yani $\neg Q \Rightarrow \neg P$ şeklinde yazarız.

  Kısacası, karşıt tersi, hem hipotez ve sonucun yerlerini değiştirmek (karşıtını almak) hem de her ikisinin de değillerini almak (tersini almak) işlemidir.

• "$p \Rightarrow q$" Önermesinin Karşıt Tersini Bulma:
  • Önermenin hipotezi $p$, sonucu $q$'dur.
  • Hipotezin değili: $\neg p$
  • Sonucun değili: $\neg q$
  • Şimdi bu değillerin yerlerini değiştirelim: Sonucun değili ($\neg q$) yeni hipotez, hipotezin değili ($\neg p$) ise yeni sonuç olur.
  • Böylece "$p \Rightarrow q$" önermesinin karşıt tersi "$ \neg q \Rightarrow \neg p $" olur.
• Öğrencilerin Cevaplarını İnceleyelim:
  • Ayşe: "$q \Rightarrow p$" cevabını vermiştir. Bu, verilen önermenin sadece hipotez ve sonucunun yer değiştirmiş halidir, yani önermenin karşıtıdır.
  • Mehmet: "$\neg p \Rightarrow \neg q$" cevabını vermiştir. Bu, verilen önermenin hipotez ve sonucunun değillerinin alınmış halidir, yani önermenin tersidir.
  • Zeynep: "$\neg q \Rightarrow \neg p$" cevabını vermiştir. Bu, bizim yukarıda bulduğumuz gibi, önermenin hem hipotez ve sonucunun değillerinin alınıp hem de yerlerinin değiştirilmiş halidir, yani önermenin karşıt tersidir.
  • Can: "$p \land q$" cevabını vermiştir. Bu, "$p$ ve $q$" anlamına gelen bir bağlaçtır ve verilen önermenin karşıt tersiyle bir ilgisi yoktur.

Bu durumda, doğru cevabı veren öğrenci Zeynep'tir.

Cevap C seçeneğidir.