Bir uydu, Dünya çevresindeki yörüngesinde dönerken merkezcil ivmesi \(a_m = \frac{GM}{r^2}\) şeklinde ifade edilebilir. Bu formülde 'M' neyi temsil eder?
A) Uydunun kütlesiniBu soru, bir uydunun Dünya çevresindeki yörüngesinde hareket ederken maruz kaldığı merkezcil ivmeyi anlamamızı istiyor. Verilen formül $a_m = \frac{GM}{r^2}$'dir. Şimdi bu formülü adım adım inceleyelim.
Öncelikle, bir cismin başka bir cisim etrafında yörüngede dönebilmesi için bir kuvvete ihtiyacı vardır. Dünya çevresinde dönen bir uydu için bu kuvvet, kütle çekim kuvvetidir. Isaac Newton'ın Evrensel Kütle Çekim Yasası'na göre, iki kütle arasındaki çekim kuvveti $F = \frac{GMm}{r^2}$ şeklinde ifade edilir.
Bu kütle çekim kuvveti formülündeki terimler şunlardır: $F$ kütle çekim kuvveti, $G$ evrensel kütle çekim sabiti, $M$ çekim yapan büyük kütle (bu durumda Dünya), $m$ çekilen küçük kütle (bu durumda uydu) ve $r$ iki kütlenin merkezleri arasındaki uzaklıktır.
Bir cismin dairesel bir yörüngede hareket etmesini sağlayan kuvvete merkezcil kuvvet denir. Merkezcil kuvvetin neden olduğu ivmeye ise merkezcil ivme ($a_m$) denir. Merkezcil kuvvet $F_c = ma_m$ formülüyle ifade edilir.
Uydu için kütle çekim kuvveti, aynı zamanda merkezcil kuvvettir. Yani $F = F_c$ eşitliğini yazabiliriz:
$\frac{GMm}{r^2} = ma_m$
Bu denklemde her iki taraftaki uydunun kütlesi ($m$) sadeleşir:
$\frac{GM\cancel{m}}{r^2} = \cancel{m}a_m$
Böylece uydunun merkezcil ivmesi için formül elde edilir:
$a_m = \frac{GM}{r^2}$
Şimdi bu son formüldeki terimleri tek tek açıklayalım:
$a_m$: Uydunun merkezcil ivmesidir.
$G$: Evrensel kütle çekim sabitidir (yaklaşık $6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$).
$M$: Çekim kuvvetini uygulayan, yani uydunun etrafında döndüğü merkezdeki cismin kütlesidir. Bu durumda, uydu Dünya çevresinde döndüğü için $M$ Dünya'nın kütlesini temsil eder.
$r$: Uydunun Dünya'nın merkezinden uzaklığıdır (yörünge yarıçapı).
Bu açıklamalara göre, formüldeki '$M$' harfi, uydunun etrafında döndüğü merkezi cismin, yani Dünya'nın kütlesini temsil etmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
