İki noktası bilinen doğru denklemi Test 1

M(2,-1) ve N(-2,3) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = -x + 1
B) y = x - 3
C) y = -2x + 3
D) y = 2x - 5

İki noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak için adım adım ilerleyelim. Doğrunun genel denklemi $y = mx + b$ şeklindedir. Burada $m$ doğrunun eğimi, $b$ ise y-eksenini kestiği noktadır (y-keseni).

• 1. Adım: Doğrunun Eğimini ($m$) Bulma

İki nokta $M(x_1, y_1)$ ve $N(x_2, y_2)$ verildiğinde, doğrunun eğimi şu formülle bulunur:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Verilen noktalarımız $M(2,-1)$ ve $N(-2,3)$. Bu noktaları formülde yerine yazalım:

$x_1 = 2$, $y_1 = -1$

$x_2 = -2$, $y_2 = 3$

$m = \frac{3 - (-1)}{-2 - 2}$

$m = \frac{3 + 1}{-4}$

$m = \frac{4}{-4}$

$m = -1$

Şimdi doğrumuzun denklemi $y = -1x + b$ veya $y = -x + b$ şeklini aldı.

• 2. Adım: y-kesenini ($b$) Bulma

Doğrunun denklemini tamamlamak için $b$ değerini bulmamız gerekiyor. Bunun için bulduğumuz eğimi ve verilen noktalardan herhangi birini (örneğin $M(2,-1)$ noktasını) $y = -x + b$ denkleminde yerine yazabiliriz.

Nokta $M(2,-1)$ için $x=2$ ve $y=-1$ değerlerini kullanalım:

$-1 = -(2) + b$

$-1 = -2 + b$

$b$ değerini yalnız bırakmak için her iki tarafa $2$ ekleyelim:

$-1 + 2 = b$

$b = 1$

• 3. Adım: Doğrunun Denklemini Yazma

Eğim ($m = -1$) ve y-keseni ($b = 1$) değerlerini $y = mx + b$ genel denkleminde yerine yazarak doğrunun denklemini elde ederiz:

$y = (-1)x + 1$

$y = -x + 1$

• 4. Adım: Doğrulama (İsteğe Bağlı ama Önemli)

Bulduğumuz denklemin doğru olup olmadığını diğer noktayı ($N(-2,3)$) kullanarak kontrol edebiliriz. $x=-2$ için $y$ değerini hesaplayalım:

$y = -(-2) + 1$

$y = 2 + 1$

$y = 3$

Bu değer, $N$ noktasının y-koordinatı ile aynıdır. Bu da bulduğumuz denklemin doğru olduğunu gösterir.

Elde ettiğimiz doğru denklemi $y = -x + 1$ şeklindedir.

Cevap A seçeneğidir.