Kapalı (Genel) doğru denklemi (ax+by+c=0) Test 1

Bir kenarı 3x + 4y - 12 = 0 doğrusu üzerinde olan karenin alanı 25 birimkaredir. Bu karenin merkezi orijin olduğuna göre, karenin bu kenarına paralel olan karşı kenarının denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 3x + 4y + 13 = 0
B) 3x + 4y - 13 = 0
C) 3x + 4y + 17 = 0
D) 3x + 4y - 17 = 0

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir karenin bir kenarının denklemi, alanı ve merkezinin konumu verilmiş. Bizden bu karenin, verilen kenara paralel olan karşı kenarının denklemini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim:

• 1. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  Karenin alanı 25 birimkare olarak verilmiş. Bir karenin alanı $A = a^2$ formülüyle bulunur, burada $a$ karenin kenar uzunluğudur.

  $a^2 = 25$ birimkare

  $a = \sqrt{25}$

  $a = 5$ birim

  Yani, karenin kenar uzunluğu 5 birimdir.

• 2. Verilen Kenar ve Karşı Kenarın Denklemleri:

  Karenin bir kenarı $3x + 4y - 12 = 0$ doğrusu üzerindedir. Karenin karşı kenarı, bu kenara paralel olacağından, denklemi $3x + 4y + C = 0$ şeklinde olacaktır. Burada $C$ sabit terimini bulmamız gerekiyor.

• 3. Orijinden Verilen Kenara Olan Uzaklığı Bulma:

  Karenin merkezi orijin $(0,0)$ olarak verilmiş. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ formülüyle bulunur.

  Orijin $(x_0, y_0) = (0,0)$ ve doğru $3x + 4y - 12 = 0$ olduğuna göre, orijinden bu doğruya olan uzaklık ($d_1$) şöyledir:

  $d_1 = \frac{|3(0) + 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

  $d_1 = \frac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}}$

  $d_1 = \frac{12}{\sqrt{25}}$

  $d_1 = \frac{12}{5}$ birim

• 4. Orijinden Karşı Kenara Olan Uzaklığı Bulma ve $C$ Değerini Hesaplama:

  Karenin merkezi orijin $(0,0)$ olduğuna göre, orijin, karenin iki paralel kenarı arasında tam ortada yer alır. Bu durumda, orijinden verilen kenara olan uzaklık ($d_1$) ile orijinden karşı kenara olan uzaklığın ($d_2$) toplamı, karenin kenar uzunluğuna ($a$) eşit olmalıdır.

  $d_1 + d_2 = a$

  Karşı kenarın denklemi $3x + 4y + C = 0$ olduğuna göre, orijinden bu kenara olan uzaklık ($d_2$) şöyledir:

  $d_2 = \frac{|3(0) + 4(0) + C|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

  $d_2 = \frac{|C|}{5}$

  Şimdi $d_1 + d_2 = a$ denklemini kullanalım:

  $\frac{12}{5} + \frac{|C|}{5} = 5$

  Her iki tarafı 5 ile çarparsak:

  $12 + |C| = 25$

  $|C| = 25 - 12$

  $|C| = 13$

  Bu durumda $C = 13$ veya $C = -13$ olabilir.

• 5. $C$ Değerinin İşaretini Belirleme:

  Orijin, iki paralel kenarın arasında yer aldığı için, orijin noktasını denklemlere yazdığımızda elde edilen sabit terimlerin işaretleri zıt olmalıdır.

  Verilen kenar için: $3(0) + 4(0) - 12 = -12$ (negatif)

  Bu durumda karşı kenar için $3(0) + 4(0) + C = C$ ifadesinin pozitif olması gerekir.

  Dolayısıyla, $C = 13$ olmalıdır.

• 6. Karşı Kenarın Denklemini Yazma:

  Bulduğumuz $C = 13$ değerini karşı kenarın genel denkleminde yerine yazarsak:

  $3x + 4y + 13 = 0$

Bu denklem seçeneklerde A şıkkında bulunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.