İntegral ne işe yarar (Alan hesabı) Test 1

f(x) = x² - 4x + 3 parabolü ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 4/3
B) 2
C) 8/3
D) 4

Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle parabol ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulma problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler, integralin geometriye en güzel uygulamalarından biridir. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulalım.

  Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, $f(x) = 0$ denkleminin kökleridir. Bu kökler, integralimizin sınırlarını belirleyecek.

  $f(x) = x^2 - 4x + 3 = 0$ denklemini çözelim.

  Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(x-1)(x-3) = 0$

  Buradan kökler:

  $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak bulunur.

  Demek ki, parabol x-eksenini $x=1$ ve $x=3$ noktalarında kesiyor. Alanı bu iki nokta arasında hesaplayacağız.

• Adım 2: Parabolün x-eksenine göre konumunu belirleyelim.

  Parabolün kollarının yönü, $x^2$ teriminin katsayısına bağlıdır. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ denkleminde $x^2$ teriminin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.

  Kökler $x=1$ ve $x=3$ olduğuna göre, parabol bu aralıkta (yani $1 < x < 3$ için) x-ekseninin altında kalır. Bunu test etmek için bu aralıktan bir $x$ değeri seçip $f(x)$'in işaretine bakabiliriz. Örneğin, $x=2$ için:

  $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

  $f(2) = -1$ olduğu için, bu aralıkta parabol x-ekseninin altındadır. Bu durumda, alanı pozitif bulmak için integralin önüne bir eksi işareti koymalıyız.

• Adım 3: Alanı veren belirli integrali kuralım.

  Parabol ile x-ekseni arasında kalan alan, belirli integral ile hesaplanır. Parabol x-ekseninin altında olduğu için, integralin önüne eksi işareti koyarak alanı pozitif hale getireceğiz:

  $A = \int_{1}^{3} - (x^2 - 4x + 3) dx$

  $A = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

• Adım 4: Belirli integrali hesaplayalım.

  Şimdi integral alma işlemini gerçekleştirelim:

  $\int (-x^2 + 4x - 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x + C = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x + C$

  Şimdi bu ifadeyi $x=3$ ve $x=1$ sınırları arasında değerlendirelim (Newton-Leibniz formülü):

  $A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$

  $A = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right)$

  $A = \left( -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right)$

  $A = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right)$

  $A = \left( 0 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right)$

  $A = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right)$

  $A = \frac{4}{3}$

  Böylece, parabol ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı $\frac{4}{3}$ birimkare olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.