Kütle çekim test çöz AYT Test 1

Kütleleri sırasıyla \( m \) ve \( 4m \) olan iki cisim arasındaki uzaklık \( d \) kadardır. Bu cisimlerin birbirine uyguladığı kütle çekim kuvveti \( F \)'dir. Cisimler arası uzaklık \( 2d \) yapılırsa yeni kütle çekim kuvveti kaç \( F \) olur?

A) \( \frac{1}{2} \)
B) \( \frac{1}{4} \)
C) \( \frac{1}{8} \)
D) \( \frac{1}{16} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kütle çekim kuvvetinin cisimler arasındaki uzaklığa nasıl bağlı olduğunu inceleyeceğiz. Newton'ın Evrensel Kütle Çekim Yasası'nı kullanarak adım adım çözüm yapacağız.

• 1. Kütle Çekim Kuvveti Formülünü Hatırlayalım:

İki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti, cisimlerin kütleleri ile doğru orantılı, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Formülü şu şekildedir:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Burada:

• $F$: Kütle çekim kuvveti
• $G$: Evrensel çekim sabiti (sabit bir değerdir, değişmez)
• $m_1$: Birinci cismin kütlesi
• $m_2$: İkinci cismin kütlesi
• $r$: Cisimlerin merkezleri arasındaki uzaklık
• 2. Başlangıç Durumundaki Kuvveti Yazalım:

Soruda verilen başlangıç değerlerini formüle yerleştirelim:

• Birinci cismin kütlesi: $m_1 = m$
• İkinci cismin kütlesi: $m_2 = 4m$
• Cisimler arası uzaklık: $r_1 = d$
• Başlangıçtaki kütle çekim kuvveti: $F_1 = F$

Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

$F = G \frac{m \cdot 4m}{d^2}$

$F = G \frac{4m^2}{d^2}$ (Bu bizim başlangıçtaki $F$ değerimizdir.)

• 3. Yeni Durumdaki Kuvveti Hesaplayalım:

Şimdi cisimler arası uzaklık $2d$ yapıldığında yeni kuvveti bulalım. Kütleler değişmediği için $m_1 = m$ ve $m_2 = 4m$ olarak kalır.

• Yeni uzaklık: $r_2 = 2d$
• Yeni kütle çekim kuvveti: $F_{yeni}$

Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

$F_{yeni} = G \frac{m \cdot 4m}{(2d)^2}$

Uzaklığın karesini almayı unutmayalım: $(2d)^2 = 4d^2$

$F_{yeni} = G \frac{4m^2}{4d^2}$

Buradaki $4$ rakamları sadeleşir:

$F_{yeni} = G \frac{m^2}{d^2}$

• 4. Yeni Kuvveti Başlangıç Kuvveti Cinsinden İfade Edelim:

Başlangıçta bulduğumuz $F$ değerini hatırlayalım: $F = G \frac{4m^2}{d^2}$.

Yeni bulduğumuz $F_{yeni}$ değerini de yazalım: $F_{yeni} = G \frac{m^2}{d^2}$.

Şimdi $F_{yeni}$'yi $F$ cinsinden ifade etmek için bir oranlama yapabiliriz. Dikkat ederseniz, $G \frac{m^2}{d^2}$ ifadesi, $G \frac{4m^2}{d^2}$ ifadesinin dörtte biridir.

Yani, $F_{yeni} = \frac{1}{4} \left( G \frac{4m^2}{d^2} \right)$

Parantez içindeki ifade $F$'ye eşit olduğu için:

$F_{yeni} = \frac{1}{4} F$

Gördüğümüz gibi, cisimler arası uzaklık iki katına çıktığında, kütle çekim kuvveti dörtte birine düşer. Bunun nedeni, kuvvetin uzaklığın karesiyle ters orantılı olmasıdır.

Cevap B seçeneğidir.