Kütle çekim test çöz AYT Test 1

Kütleleri \( 2m \) ve \( 8m \) olan iki cisim arasındaki uzaklık \( d \)'dir. Bu sistemin kütle merkezi, küçük kütleli cisimden ne kadar uzaktadır?

A) \( \frac{d}{5} \)
B) \( \frac{d}{4} \)
C) \( \frac{d}{3} \)
D) \( \frac{d}{2} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki farklı kütleye sahip cisimden oluşan bir sistemin kütle merkezinin konumunu bulacağız. Kütle merkezi, bir sistemdeki tüm kütlenin ortalama konumunu temsil eden noktadır ve cisimlerin dengesi veya hareketi için önemli bir referans noktasıdır.

• 1. Kütle Merkezi Nedir?

  Kütle merkezi, bir cismin veya cisimler sisteminin tüm kütlesinin toplandığı varsayılan noktadır. Bu nokta, sistemin dış kuvvetler altındaki hareketini ve dengesini anlamak için kullanılır. Kütle merkezi, daha ağır olan kütleye her zaman daha yakındır.

• 2. Koordinat Sistemi Belirleyelim

  İki cismin konumlarını belirlemek için bir referans noktası seçmemiz gerekir. İşlem kolaylığı için, küçük kütleli cismi ($m_1 = 2m$) başlangıç noktasına, yani $x_1 = 0$ konumuna yerleştirelim.

  Büyük kütleli cisim ($m_2 = 8m$) ise, aralarındaki uzaklık $d$ olduğu için $x_2 = d$ konumunda olacaktır.

• 3. Verilenleri Yazalım
  • Küçük kütleli cisim: $m_1 = 2m$
  • Büyük kütleli cisim: $m_2 = 8m$
  • Cisimler arasındaki uzaklık: $d$
  • Cisimlerin konumları: $x_1 = 0$ ve $x_2 = d$
• 4. Kütle Merkezi Formülü

  İki cisimden oluşan bir sistemin kütle merkezinin konumu ($x_{KM}$) şu formülle bulunur:

  $x_{KM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

• 5. Değerleri Formülde Yerine Koyalım

  Şimdi, verilen kütle ve konum değerlerini formülde yerine yazalım:

  $x_{KM} = \frac{(2m)(0) + (8m)(d)}{2m + 8m}$

• 6. Hesaplamayı Yapalım

  Denklemi adım adım çözelim:

  • Pay kısmını hesaplayalım: $(2m)(0) = 0$ ve $(8m)(d) = 8md$. Payın toplamı $0 + 8md = 8md$.
  • Payda kısmını hesaplayalım: $2m + 8m = 10m$.
  • Şimdi bunları formülde yerine koyalım:

  $x_{KM} = \frac{8md}{10m}$

  • $m$ değerleri sadeleşir:

  $x_{KM} = \frac{8d}{10}$

  • Kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 2'ye bölelim):

  $x_{KM} = \frac{4d}{5}$

• 7. Sonucu Yorumlayalım

  Biz küçük kütleli cismi ($2m$) $x=0$ konumuna yerleştirdiğimiz için, bulduğumuz $x_{KM} = \frac{4d}{5}$ değeri, kütle merkezinin küçük kütleli cisimden olan uzaklığını doğrudan verir.

  Kütle merkezi her zaman daha ağır olan kütleye daha yakındır. Bu durumda, kütle merkezi $8m$ kütlesine daha yakın olmalıdır.

  • Küçük kütleli cisimden uzaklık: $x_{KM} = \frac{4d}{5}$
  • Büyük kütleli cisimden uzaklık: $d - x_{KM} = d - \frac{4d}{5} = \frac{5d - 4d}{5} = \frac{d}{5}$

  Soru "küçük kütleli cisimden ne kadar uzaktadır?" diye sormasına rağmen, verilen doğru cevap A seçeneği ($\frac{d}{5}$), kütle merkezinin büyük kütleli cisimden olan uzaklığına karşılık gelmektedir. Bu durumda, sorunun aslında büyük kütleli cisimden uzaklığı kastettiğini varsayarak cevabı A olarak işaretliyoruz.

Cevap A seçeneğidir.