Kütlesi \( m \) olan bir cisim, kütlesi \( 9M \) olan bir gezegenin yüzeyinden \( 2R \) yükseklikteki bir noktada gezegenin uyguladığı kütle çekim kuvveti nedir? (G: evrensel çekim sabiti)
A) \( \frac{9GMm}{4R^2} \)
B) \( \frac{GMm}{R^2} \)
C) \( \frac{9GMm}{9R^2} \)
D) \( \frac{GMm}{4R^2} \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir gezegenin uyguladığı kütle çekim kuvvetini bulmamız isteniyor. Kütle çekim kuvveti, evrendeki her iki kütleli cisim arasında var olan temel bir kuvvettir. Newton'un evrensel çekim yasası ile bu kuvveti hesaplayabiliriz. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Adım 1: Kütle Çekim Kuvveti Formülünü Hatırlayalım
- İki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti, Newton'un Evrensel Çekim Yasası'na göre şu formülle hesaplanır:
- $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
- Burada:
- $F$: Kütle çekim kuvveti
- $G$: Evrensel çekim sabiti
- $m_1$: Birinci cismin kütlesi
- $m_2$: İkinci cismin kütlesi
- $r$: İki cismin kütle merkezleri arasındaki uzaklık
- Adım 2: Verilen Değerleri Belirleyelim
- Soruya göre:
- Cismin kütlesi ($m_2$): $m$
- Gezegenin kütlesi ($m_1$): $9M$
- Cismin gezegenin yüzeyinden yüksekliği: $2R$
- Gezegenin yarıçapı (genellikle $R$ olarak kabul edilir, sorudaki $2R$ yüksekliği bu yarıçapa göre verilmiştir): $R$
- Adım 3: Kütle Merkezleri Arasındaki Toplam Uzaklığı Hesaplayalım
- Kütle çekim kuvveti formülündeki $r$, cisimlerin kütle merkezleri arasındaki mesafedir. Gezegenin merkezinden yüzeyine kadar olan uzaklık gezegenin yarıçapı ($R$) kadardır. Cisim ise yüzeyden $2R$ yükseklikte bulunmaktadır.
- Bu durumda, gezegenin merkezinden cismin merkezine olan toplam uzaklık ($r$) şu şekilde bulunur:
- $r = \text{Gezegenin yarıçapı} + \text{Yüzeyden yükseklik}$
- $r = R + 2R$
- $r = 3R$
- Adım 4: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi bulduğumuz tüm değerleri kütle çekim kuvveti formülüne yerleştirelim:
- $F = G \frac{(9M)(m)}{(3R)^2}$
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirelim
- Formüldeki kare alma işlemini ve çarpımları gerçekleştirelim:
- $F = G \frac{9Mm}{9R^2}$
- Pay ve paydadaki $9$ sayıları birbirini götürür:
- $F = G \frac{Mm}{R^2}$
Bu sonuç, gezegenin cisme uyguladığı kütle çekim kuvvetini vermektedir.
Cevap B seçeneğidir.
