Kepler 3. kanun (Periyotlar kanunu - R³/T²) Test 1

Güneş sistemindeki bir gezegenin yörünge periyodu 8 yıl ve yarı büyük eksen uzunluğu 4 astronomik birimdir. Buna göre aynı sistemde yörünge periyodu 27 yıl olan bir gezegenin yarı büyük eksen uzunluğu kaç astronomik birimdir?

A) 6
B) 9
C) 12
D) 18

Bu soruyu çözmek için gezegenlerin hareketini açıklayan temel yasalardan biri olan Kepler'in Üçüncü Yasası'nı kullanacağız. Kepler'in Üçüncü Yasası, bir gezegenin yörünge periyodunun karesinin, yörüngesinin yarı büyük eksen uzunluğunun küpüyle orantılı olduğunu söyler. Yani, aynı yıldız etrafında dönen tüm gezegenler için $rac{T^2}{a^3}$ oranı sabittir.

• Adım 1: Kepler'in Üçüncü Yasasını Hatırlayalım

  Kepler'in Üçüncü Yasası'na göre, bir gezegenin yörünge periyodunun ($T$) karesi, yörüngesinin yarı büyük eksen uzunluğunun ($a$) küpü ile doğru orantılıdır. Matematiksel olarak bu ilişkiyi şu şekilde ifade edebiliriz:

  $rac{T^2}{a^3} = \text{Sabit (k)}$

  Bu sabit değer, aynı merkezi yıldız etrafında dönen tüm gezegenler için aynıdır.

• Adım 2: Verilen Bilgileri Yazalım

  Soruda bize iki gezegen hakkında bilgi verilmiş:

  Birinci Gezegen İçin:

  Yörünge Periyodu ($T_1$) = 8 yıl

  Yarı Büyük Eksen Uzunluğu ($a_1$) = 4 astronomik birim (AB)

  İkinci Gezegen İçin:

  Yörünge Periyodu ($T_2$) = 27 yıl

  Yarı Büyük Eksen Uzunluğu ($a_2$) = ? (Bunu bulacağız)

• Adım 3: İki Gezegen İçin Oranı Eşitleyelim

  Aynı sistemde oldukları için, her iki gezegen için de $rac{T^2}{a^3}$ oranı aynı olacaktır. Bu yüzden şu denklemi kurabiliriz:

  $rac{T_1^2}{a_1^3} = rac{T_2^2}{a_2^3}$

• Adım 4: Bilinen Değerleri Yerine Koyalım

  Şimdi elimizdeki değerleri denkleme yerleştirelim:

  $rac{8^2}{4^3} = rac{27^2}{a_2^3}$

• Adım 5: Denklemi Çözelim

  Önce üslü ifadeleri hesaplayalım:

  $8^2 = 8 \times 8 = 64$

  $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

  $27^2 = 27 \times 27 = 729$

  Şimdi bu değerleri denklemde yerine koyalım:

  $rac{64}{64} = rac{729}{a_2^3}$

  $1 = rac{729}{a_2^3}$

  Denklemi $a_2^3$ için düzenleyelim:

  $a_2^3 = 729$

  Şimdi $a_2$'yi bulmak için her iki tarafın küp kökünü almalıyız:

  $a_2 = \sqrt[3]{729}$

  Hangi sayının küpü 729'dur? Deneyerek bulabiliriz:

  $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$

  Demek ki $a_2 = 9$ astronomik birimdir.

Bu durumda, yörünge periyodu 27 yıl olan gezegenin yarı büyük eksen uzunluğu 9 astronomik birimdir.

Cevap B seçeneğidir.