Soru:
Bir uydu, Dünya etrafındaki dairesel yörüngesini 2 saatte tamamlamaktadır. Yer eşzamanlı bir uydunun yörünge periyodu ise 24 saattir. Kepler'in 3. Kanunu'nu kullanarak, 2 saat periyotlu uydunun yörünge yarıçapının, yer eşzamanlı uydunun yörünge yarıçapına oranını (\( \frac{R_{2}}{R_{24}} \)) bulunuz.
Çözüm:
Kepler'in 3. Kanunu, \( \frac{R^3}{T^2} = sabit \) olduğunu söyler. İki farklı uydu için bu sabit aynıdır, yani \( \frac{R_{2}^3}{T_{2}^2} = \frac{R_{24}^3}{T_{24}^2} \) yazabiliriz. Bizden istenen \( \frac{R_{2}}{R_{24}} \) oranıdır.
- ➡️ İlk adım, oranı elde etmek için denklemi düzenlemektir: \( \frac{R_{2}^3}{R_{24}^3} = \frac{T_{2}^2}{T_{24}^2} \)
- ➡️ İkinci adım, her iki tarafın küp kökünü almaktır: \( \frac{R_{2}}{R_{24}} = \left( \frac{T_{2}^2}{T_{24}^2} \right)^{1/3} = \left( \frac{T_{2}}{T_{24}} \right)^{2/3} \)
- ➡️ Üçüncü adım, verilen değerleri yerine koymaktır: \( \frac{R_{2}}{R_{24}} = \left( \frac{2}{24} \right)^{2/3} = \left( \frac{1}{12} \right)^{2/3} \)
- ➡️ Dördüncü adım, üssü hesaplamaktır: \( \left( \frac{1}{12} \right)^{2/3} = \frac{1}{12^{2/3}} = \frac{1}{(12^2)^{1/3}} = \frac{1}{(144)^{1/3}} \)
- ➡️ \( 144^{1/3} \approx 5.24 \) olduğundan, sonuç yaklaşık \( \frac{1}{5.24} \approx 0.19 \) olur.
✅ Sonuç olarak, 2 saat periyotlu uydunun yörünge yarıçapı, yer eşzamanlı uydunun yörünge yarıçapının yaklaşık 0.19 katıdır.
