Soru:
Güneş sistemindeki X gezegeninin yörünge periyodu 125 Dünya yılıdır. Dünya'nın yörünge yarıçapı 1 AB ve periyodu 1 yıl olduğuna göre, X gezegeninin Güneş'e olan ortalama uzaklığı kaç AB'dir?
Çözüm:
💡 Kepler'in 3. Kanunu'nu (\( R^3 / T^2 = sabit \)) kullanacağız. Dünya ve X gezegeni için bu sabit aynı olacak.
- ➡️ Dünya için: \( R_D = 1 \) AB, \( T_D = 1 \) yıl. Sabit = \( \frac{R_D^3}{T_D^2} = \frac{1^3}{1^2} = 1 \).
- ➡️ X gezegeni için: \( R_X = ? \), \( T_X = 125 \) yıl. Aynı sabiti kullanıyoruz:
\( \frac{R_X^3}{T_X^2} = 1 \) → \( \frac{R_X^3}{(125)^2} = 1 \)
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \( R_X^3 = (125)^2 \) → \( R_X^3 = 15625 \)
- ➡️ \( R_X \)'i bulmak için her iki tarafın küp kökünü alalım:
\( R_X = \sqrt[3]{15625} \). \( 15625 = 25^3 \) olduğuna dikkat edelim.
\( R_X = 25 \)
✅ Sonuç olarak, X gezegeninin Güneş'e ortalama uzaklığı 25 AB'dir.
