Kepler 3. kanun (Periyotlar kanunu - R³/T²)

Jüpiter'in Güneş etrafındaki yörünge periyodu yaklaşık 12 Dünya yılıdır. Kepler'in 3. Kanunu'nu kullanarak Jüpiter'in Güneş'e olan ortalama uzaklığının (yörünge yarıçapının), Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığına (\(1\) AB) oranını (\( \frac{R_J}{R_D} \)) bulunuz.

💡 Kepler'in 3. Kanunu: \( \frac{R^3}{T^2} = sabit \). Dünya ve Jüpiter aynı merkezî cisim (Güneş) etrafında döndüğü için bu sabit aynıdır. \( \frac{R_D^3}{T_D^2} = \frac{R_J^3}{T_J^2} \)

• ➡️ Verilenler: \( T_D = 1 \) yıl, \( T_J = 12 \) yıl, \( R_D = 1 \) AB.
• ➡️ Oranı yazalım: \( \frac{R_J^3}{R_D^3} = \frac{T_J^2}{T_D^2} \) → \( \left( \frac{R_J}{R_D} \right)^3 = \left( \frac{12}{1} \right)^2 = 144 \)
• ➡️ Her iki tarafın küp kökünü alırsak: \( \frac{R_J}{R_D} = \sqrt[3]{144} \). 144'ü çarpanlarına ayıralım: \( 144 = 2^4 \times 3^2 \).
  \( \sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{2^4 \times 3^2} = 2^{4/3} \times 3^{2/3} = 2 \times 2^{1/3} \times 3^{2/3} \)

✅ Sonuç olarak, Jüpiter'in Güneş'e uzaklığının Dünya'ya uzaklığına oranı \( \sqrt[3]{144} \) AB veya yaklaşık \( 5.24 \) AB'dir.