Soru:
Birbirinin etrafında dönen iki yıldızdan oluşan bir çift yıldız sisteminde, bir yıldızın yörünge periyodu 2 yıl, diğerinin yörünge periyodu ise 8 yıldır. Buna göre, yıldızların yörünge yarıçaplarının oranı \( \frac{R_1}{R_2} \) kaçtır? (İki cismin de aynı merkez etrafında döndüğünü varsayınız.)
Çözüm:
💡 Burada iki cisim aynı sistemde olduğu için Kepler sabiti (\( \frac{R^3}{T^2} \)) her ikisi için de aynıdır. Yani \( \frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} \).
- ➡️ Verilenler: \( T_1 = 2 \) yıl, \( T_2 = 8 \) yıl. Oranını alalım:
\( \frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} \) → \( \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{T_1^2}{T_2^2} \)
- ➡️ Her iki tarafın küp kökünü alarak yarıçapların oranını bulalım:
\( \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3 = \left( \frac{2}{8} \right)^2 \) → \( \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} \)
- ➡️ \( \frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{\sqrt[3]{16}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \) veya \( \frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{1}{16} \right)^{1/3} \)
✅ Sonuç olarak, yörünge yarıçaplarının oranı \( \frac{1}{\sqrt[3]{16}} \)'dır.
