Bir otelde 5 farklı oda bulunmaktadır. 3 kişi bu otele yerleşecek olup, her oda en fazla bir kişi alabildiğine göre, kaç farklı şekilde yerleşim yapılabilir?
A) 10
B) 15
C) 60
D) 125
Bu problem, belirli sayıda nesnenin (kişilerin) belirli sayıda farklı yere (odalara) yerleştirilmesi durumunu inceleyen bir permütasyon (sıralama) problemidir. Her adımda kaç seçeneğimiz olduğunu düşünerek çözüme ulaşabiliriz.
- Adım 1: İlk Kişinin Yerleşimi
- Otelde toplam 5 farklı oda bulunmaktadır. İlk kişi, bu 5 odadan herhangi birini seçerek yerleşebilir.
- Bu durumda, ilk kişi için 5 farklı yerleşim seçeneği vardır.
- Adım 2: İkinci Kişinin Yerleşimi
- İlk kişi odalardan birine yerleştikten sonra, geriye kalan boş oda sayısı $5 - 1 = 4$ olur.
- İkinci kişi, kalan bu 4 boş odadan herhangi birini seçerek yerleşebilir (çünkü her oda en fazla bir kişi alabilir kuralı var).
- Bu durumda, ikinci kişi için 4 farklı yerleşim seçeneği vardır.
- Adım 3: Üçüncü Kişinin Yerleşimi
- İlk iki kişi odalara yerleştikten sonra, geriye kalan boş oda sayısı $4 - 1 = 3$ olur.
- Üçüncü kişi, kalan bu 3 boş odadan herhangi birini seçerek yerleşebilir.
- Bu durumda, üçüncü kişi için 3 farklı yerleşim seçeneği vardır.
- Adım 4: Toplam Farklı Yerleşim Sayısının Hesaplanması
- Her bir kişinin seçimi, diğer kişilerin seçimlerinden bağımsız olduğu için (ancak boş oda sayısını etkilediği için sıralı düşünülür), toplam farklı yerleşim sayısını bulmak için bu seçenekleri çarpmamız gerekir.
- Toplam yerleşim sayısı = (İlk kişinin seçeneği) $\times$ (İkinci kişinin seçeneği) $\times$ (Üçüncü kişinin seçeneği)
- Toplam yerleşim sayısı = $5 \times 4 \times 3$
- Toplam yerleşim sayısı = $60$
- Bu problemi permütasyon formülü ile de çözebiliriz. $n$ farklı nesneden $k$ tanesinin sıralanışı $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ formülü ile bulunur. Burada $n=5$ (toplam oda sayısı) ve $k=3$ (yerleşecek kişi sayısı) olduğu için:
- $P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştığımızı görüyoruz. Bu, çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.
Cevap C seçeneğidir.
