Ahmet, Mehmet, Ayşe ve Fatma'dan oluşan 4 kişi, bir sırada yan yana oturacaklardır. Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturmaması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür sıralama (permütasyon) problemleri, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek durumları matematiksel olarak modellememizi sağlar. Şimdi bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyelim ve çözelim.
- Adım 1: Toplam Sıralama Sayısını Bulma
- Öncelikle, hiçbir kısıtlama olmasaydı 4 kişinin bir sırada kaç farklı şekilde oturabileceğini bulalım. Ahmet, Mehmet, Ayşe ve Fatma olmak üzere 4 farklı kişi vardır. 4 farklı kişinin bir sırada yan yana sıralanması $4!$ (4 faktöriyel) şeklinde hesaplanır.
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- Yani, 4 kişi toplamda 24 farklı şekilde sıralanabilir.
- Adım 2: Ahmet ve Mehmet'in Yan Yana Oturduğu Durumları Bulma
- Şimdi sorudaki kısıtlamanın tersini düşünelim: Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturduğu durumları bulalım. Bu tür durumlarda, yan yana oturması istenen kişileri tek bir "blok" veya "grup" olarak düşünebiliriz.
- Ahmet ve Mehmet'i bir grup olarak düşünelim: (Ahmet Mehmet).
- Şimdi elimizde 3 "birim" var: (Ahmet Mehmet grubu), Ayşe, Fatma.
- Bu 3 birim kendi aralarında $3!$ farklı şekilde sıralanabilir.
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- Ancak unutmayalım ki, (Ahmet Mehmet) grubunun içinde Ahmet ve Mehmet de kendi aralarında yer değiştirebilirler. Yani grup (Ahmet Mehmet) veya (Mehmet Ahmet) şeklinde olabilir. Bu da $2!$ farklı durum demektir.
- $2! = 2 \times 1 = 2$
- Dolayısıyla, Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturduğu toplam durum sayısı, bu iki sayının çarpımıdır: $6 \times 2 = 12$.
- Adım 3: İstenen Durumu Hesaplama
- Bizden istenen, Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturmaması durumudur. Bunu bulmak için, toplam sıralama sayısından, Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturduğu durumları çıkarmamız gerekir.
- Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturmama durumu = (Toplam sıralama sayısı) - (Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturduğu durum sayısı)
- Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturmama durumu = $24 - 12 = 12$
Bu durumda, Ahmet ve Mehmet'in yan yana oturmaması koşuluyla 4 kişi 12 farklı şekilde sıralanabilir.
Cevap A seçeneğidir.
