9. Sınıf Ortalama Mutlak Sapma Nedir? Test 1

Bir veri setinde tüm değerler 5 artırılırsa ortalama mutlak sapma için ne söylenebilir?

A) 5 artar
B) 5 azalır
C) Değişmez
D) İki katına çıkar

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruyu çözmek için öncelikle Ortalama Mutlak Sapma (Mean Absolute Deviation - MAD) kavramını ve bir veri setindeki tüm değerlerin sabit bir miktar artırılmasının bu kavram üzerindeki etkisini adım adım inceleyelim.

• Ortalama Mutlak Sapma (MAD) Nedir?

  Ortalama Mutlak Sapma, bir veri setindeki her bir değerin, veri setinin ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu gösteren bir yayılım ölçüsüdür. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

  $MAD = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$

  Burada:

  • $x_i$: Veri setindeki her bir gözlem değeri
  • $\bar{x}$: Veri setinin aritmetik ortalaması
  • $n$: Veri setindeki toplam gözlem sayısı
  • $|x_i - \bar{x}|$: Her bir değerin ortalamadan mutlak farkı (sapması)

  Kısacası, MAD, her bir değerin ortalamadan farkının mutlak değerlerinin ortalamasıdır.

• Veri Setindeki Tüm Değerler 5 Artırılırsa Ortalama Nasıl Değişir?

  Eğer bir veri setindeki tüm değerlere sabit bir $k$ sayısı (bu soruda $k=5$) eklenirse, veri setinin aritmetik ortalaması da aynı $k$ sayısı kadar artar. Yani, yeni ortalama $\bar{x}' = \bar{x} + k$ olur.

  Örneğin, orijinal veri setimiz $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$ ve ortalaması $\bar{x}$ olsun. Tüm değerleri 5 artırırsak yeni veri setimiz $\{x_1+5, x_2+5, ..., x_n+5\}$ olur. Yeni ortalama $\bar{x}'$ ise:

  $\bar{x}' = \frac{(x_1+5) + (x_2+5) + ... + (x_n+5)}{n} = \frac{(x_1+x_2+...+x_n) + (5+5+...+5)}{n} = \frac{\sum x_i + n \cdot 5}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{n \cdot 5}{n} = \bar{x} + 5$

  Görüldüğü gibi, ortalama da 5 artar.

• Ortalama Mutlak Sapma Formülündeki Farklar Nasıl Değişir?

  Şimdi MAD formülündeki her bir terimi, yani $|x_i - \bar{x}|$ ifadesini inceleyelim. Yeni durumda, her bir $x_i$ değeri $x_i+5$ olurken, ortalama $\bar{x}$ değeri de $\bar{x}+5$ olur. Bu durumda, yeni mutlak fark şu şekilde hesaplanır:

  $|(x_i+5) - (\bar{x}+5)|$

  Parantezleri açtığımızda:

  $|x_i + 5 - \bar{x} - 5| = |x_i - \bar{x}|$

  Bu, her bir değerin yeni ortalamadan olan mutlak farkının, orijinal değerin orijinal ortalamadan olan mutlak farkına eşit olduğu anlamına gelir. Yani, her bir sapma miktarı değişmez.

• Sonuç: Ortalama Mutlak Sapma Ne Olur?

  Her bir mutlak sapma ($|x_i - \bar{x}|$) değişmediği için, bu sapmaların toplamı ($\sum |x_i - \bar{x}|$) da değişmez. Veri setindeki gözlem sayısı ($n$) da değişmediğine göre, Ortalama Mutlak Sapma (MAD) değeri de değişmeyecektir.

Örnekle Açıklama:

• Orijinal Veri Seti: $\{1, 2, 3\}$
  • Ortalama ($\bar{x}$): $(1+2+3)/3 = 6/3 = 2$
  • MAD: $(|1-2| + |2-2| + |3-2|)/3 = (|-1| + |0| + |1|)/3 = (1+0+1)/3 = 2/3$
• Tüm Değerler 5 Artırılırsa: $\{1+5, 2+5, 3+5\} = \{6, 7, 8\}$
  • Yeni Ortalama ($\bar{x}'$): $(6+7+8)/3 = 21/3 = 7$ (Orijinal ortalama $2+5=7$)
  • Yeni MAD: $(|6-7| + |7-7| + |8-7|)/3 = (|-1| + |0| + |1|)/3 = (1+0+1)/3 = 2/3$

Görüldüğü gibi, veri setindeki tüm değerler sabit bir miktar artırıldığında, Ortalama Mutlak Sapma değeri değişmemiştir.

Cevap C seçeneğidir.