Bir mağazanın 6 günlük müşteri sayıları: 120, 135, 110, 125, 140, 130'dur. Ortalama müşteri sayısı 127 olduğuna göre, ortalama mutlak sapma hesaplanırken aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılır?
A) |120-127| + |135-127| + |110-127| + |125-127| + |140-127| + |130-127| = 58
B) (120+135+110+125+140+130)/6 = 127
C) (|120-127| + |135-127| + |110-127| + |125-127| + |140-127| + |130-127|)/6 ≈ 9,67
D) (120²+135²+110²+125²+140²+130²)/6 - 127²
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir veri setinin "Ortalama Mutlak Sapması"nı nasıl hesaplayacağımızı öğreniyoruz. Ortalama mutlak sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir ölçüdür. Yani, verilerin ortalama etrafındaki yayılımını anlamamıza yardımcı olur.
- Ortalama Mutlak Sapma (OMS) Nedir?
Ortalama mutlak sapma, her bir veri noktasının veri setinin ortalamasından ne kadar saptığının (uzaklaştığının) mutlak değerlerinin (yani pozitif değerlerinin) ortalamasıdır. Matematiksel olarak şu formülle ifade edilir:
$OMS = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
Burada:
- $x_i$: Her bir müşteri sayısı gibi, veri setindeki tek tek değerlerdir.
- $\bar{x}$: Veri setinin ortalamasıdır (soruda bize $127$ olarak verilmiştir).
- $|...|$: Mutlak değer işaretidir. İçindeki sayının negatif olsa bile pozitif değerini almamızı sağlar. Örneğin, $|-5| = 5$ ve $|5| = 5$.
- $\sum$: Toplam sembolüdür. Tüm $x_i - \bar{x}$ farklarının mutlak değerlerini toplamamız gerektiğini gösterir.
- $n$: Veri setindeki toplam eleman sayısıdır (burada 6 günlük müşteri sayısı olduğu için $n=6$).
- Adım 1: Her Bir Müşteri Sayısının Ortalamadan Farkını Bulma
Öncelikle, her bir günkü müşteri sayısının ortalama müşteri sayısı olan $127$'den ne kadar farklı olduğunu bulmalıyız.
- $120 - 127 = -7$
- $135 - 127 = 8$
- $110 - 127 = -17$
- $125 - 127 = -2$
- $140 - 127 = 13$
- $130 - 127 = 3$
- Adım 2: Farkların Mutlak Değerlerini Alma
Şimdi bu farkların mutlak değerlerini alıyoruz ki, negatif veya pozitif olmalarından bağımsız olarak her bir sayının ortalamadan "ne kadar uzak" olduğunu görelim.
- $|120 - 127| = |-7| = 7$
- $|135 - 127| = |8| = 8$
- $|110 - 127| = |-17| = 17$
- $|125 - 127| = |-2| = 2$
- $|140 - 127| = |13| = 13$
- $|130 - 127| = |3| = 3$
- Adım 3: Mutlak Farkları Toplama
Bulduğumuz tüm mutlak farkları topluyoruz:
$7 + 8 + 17 + 2 + 13 + 3 = 50$
Bu toplam, veri setindeki tüm değerlerin ortalamadan toplam mutlak sapmasını gösterir.
- Adım 4: Toplam Mutlak Sapmayı Veri Sayısına Bölme
Son olarak, bu toplamı veri sayısına ($n=6$) bölerek ortalama mutlak sapmayı buluruz:
$OMS = \frac{50}{6} \approx 8,33$
- Seçenekleri İnceleme
Şimdi seçeneklere bakalım ve hangi seçeneğin bu işlemi doğru bir şekilde temsil ettiğini bulalım:
- A) $|120-127| + |135-127| + |110-127| + |125-127| + |140-127| + |130-127| = 58$
Bu seçenek, mutlak farkların toplamını göstermektedir. Ancak bizim hesaplamamıza göre bu toplam $50$'dir, $58$ değildir. Ayrıca, bu sadece toplamı verir, ortalamayı değil.
- B) $(120+135+110+125+140+130)/6 = 127$
Bu seçenek, müşteri sayılarının aritmetik ortalamasını (ortalama müşteri sayısını) hesaplama işlemidir. Soruda ortalama zaten $127$ olarak verilmiştir. Bu, ortalama mutlak sapma hesaplama işlemi değildir.
- C) $(|120-127| + |135-127| + |110-127| + |125-127| + |140-127| + |130-127|)/6 \approx 9,67$
Bu seçenek, ortalama mutlak sapmanın tanımına tamamen uyan işlemi göstermektedir. Her bir veri noktasının ortalamadan farkının mutlak değerleri toplanmış ve ardından veri sayısına bölünmüştür. Seçenekte verilen yaklaşık değer $9,67$, eğer mutlak farkların toplamı $58$ olsaydı ($58/6 \approx 9,67$) doğru olurdu. Kendi hesaplamalarımızda bu toplamı $50$ bulsak da, işlemin yapısı (mutlak farkların toplamının veri sayısına bölünmesi) ortalama mutlak sapmayı hesaplamak için doğru olanıdır. Soru "hangi işlem yapılır" diye sorduğu için, bu işlem doğru adımları temsil eder.
- D) $(120^2+135^2+110^2+125^2+140^2+130^2)/6 - 127^2$
Bu seçenek, varyans veya standart sapma gibi başka istatistiksel ölçümlerle ilgili bir formüldür. Ortalama mutlak sapma hesaplaması için kullanılmaz.
Sonuç olarak, ortalama mutlak sapmayı hesaplamak için her bir veri noktasının ortalamadan farkının mutlak değerlerini toplar ve bu toplamı veri sayısına böleriz. Bu işlem, C seçeneğinde doğru bir şekilde gösterilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
