Maksimum hız ve ivme nerede olur (BHH) Test 1

Bir yay sarkacı basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin konumu \( x = A \sin(\omega t) \) denklemiyle veriliyor. Buna göre cismin hızı ve ivmesi için ne söylenebilir?

A) Hız maksimum \( x = 0 \)'da, ivme maksimum \( x = \pm A \)'da
B) Hız maksimum \( x = \pm A \)'da, ivme maksimum \( x = 0 \)'da
C) Hız ve ivme her ikisi de \( x = 0 \)'da maksimum
D) Hız ve ivme her ikisi de \( x = \pm A \)'da maksimum

Merhaba sevgili öğrenciler!

Basit harmonik hareket, doğada ve mühendislikte sıkça karşılaştığımız önemli bir konudur. Bir yay sarkacının hareketini anlamak için konum, hız ve ivme arasındaki ilişkiyi inceleyelim. Soruda bize cismin konum denklemi verilmiş ve hız ile ivmenin nerede maksimum olduğunu bulmamız isteniyor.

• 1. Konum Denklemi:

  Basit harmonik hareket yapan bir cismin konumu, genellikle sinüs veya kosinüs fonksiyonu ile ifade edilir. Soruda bize verilen konum denklemi şöyledir:

  $ x = A \sin(\omega t) $

  Burada:

  • $x$: Cismin denge konumundan uzaklığı (konumu)
  • $A$: Genlik (cismin denge konumundan maksimum uzaklığı)
  • $\omega$: Açısal frekans
  • $t$: Zaman
• 2. Hız Denklemini Bulma:

  Bir cismin hızı, konumunun zamana göre türevidir. Yani, $v = \frac{dx}{dt}$ formülüyle bulunur. Konum denkleminin zamana göre türevini alalım:

  $ v = \frac{d}{dt} (A \sin(\omega t)) $

  Sinüs fonksiyonunun türevi kosinüs, içindeki $\omega t$'nin türevi ise $\omega$'dır. Bu durumda hız denklemi:

  $ v = A \omega \cos(\omega t) $

• 3. Hızın Maksimum Olduğu Yeri Belirleme:

  Hız denklemi $ v = A \omega \cos(\omega t) $ şeklindedir. Hızın maksimum büyüklüğe sahip olması için $\cos(\omega t)$ ifadesinin maksimum değerini alması gerekir. Kosinüs fonksiyonunun alabileceği maksimum değer $+1$ veya $-1$'dir.

  Yani, $\cos(\omega t) = \pm 1$ olduğunda hız maksimum olur. Bu durumda maksimum hızın büyüklüğü $v_{max} = A \omega$'dır.

  Peki, $\cos(\omega t) = \pm 1$ olduğunda cismin konumu ($x$) nedir? Konum denklemi $ x = A \sin(\omega t) $ idi.

  Trigonometrik bir özdeşlikten biliyoruz ki $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$'dir. Eğer $\cos(\omega t) = \pm 1$ ise, o zaman $\cos^2(\omega t) = 1$ olur. Bu durumda $\sin^2(\omega t) = 1 - \cos^2(\omega t) = 1 - 1 = 0$ olur. Yani $\sin(\omega t) = 0$'dır.

  Şimdi bu değeri konum denklemine yerleştirelim:

  $ x = A \sin(\omega t) = A \cdot 0 = 0 $

  Bu, cismin denge konumunda olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, hız denge konumunda ($x = 0$) maksimumdur.

• 4. İvme Denklemini Bulma:

  Bir cismin ivmesi, hızının zamana göre türevidir. Yani, $a = \frac{dv}{dt}$ formülüyle bulunur. Hız denkleminin zamana göre türevini alalım:

  $ a = \frac{d}{dt} (A \omega \cos(\omega t)) $

  Kosinüs fonksiyonunun türevi eksi sinüs, içindeki $\omega t$'nin türevi ise $\omega$'dır. Bu durumda ivme denklemi:

  $ a = A \omega (-\sin(\omega t)) \cdot \omega $

  $ a = -A \omega^2 \sin(\omega t) $

• 5. İvmenin Maksimum Olduğu Yeri Belirleme:

  İvme denklemi $ a = -A \omega^2 \sin(\omega t) $ şeklindedir. İvmenin maksimum büyüklüğe sahip olması için $\sin(\omega t)$ ifadesinin maksimum değerini alması gerekir. Sinüs fonksiyonunun alabileceği maksimum değer $+1$ veya $-1$'dir.

  Yani, $\sin(\omega t) = \pm 1$ olduğunda ivme maksimum olur. Bu durumda maksimum ivmenin büyüklüğü $a_{max} = A \omega^2$'dir.

  Peki, $\sin(\omega t) = \pm 1$ olduğunda cismin konumu ($x$) nedir? Konum denklemi $ x = A \sin(\omega t) $ idi.

  Şimdi bu değeri konum denklemine yerleştirelim:

  $ x = A \sin(\omega t) = A (\pm 1) = \pm A $

  Bu, cismin genlik konumlarında (yani denge konumundan en uzak noktalarda) olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, ivme genlik konumlarında ($x = \pm A$) maksimumdur.

• 6. Sonuçları Özetleme:
  • Hız, cisim denge konumundan geçerken ($x = 0$) maksimumdur.
  • İvme, cisim genlik konumlarında ($x = \pm A$) maksimumdur.

  Bu sonuçlar, verilen seçeneklerden A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.