Maksimum hız ve ivme nerede olur (BHH) Test 1

Basit harmonik hareket yapan bir cisim için hız denklemi \( v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \) şeklindedir. Buna göre hızın sıfır olduğu noktalar nelerdir ve bu noktalarda ivme nasıldır?

A) \( x = 0 \), ivme sıfır
B) \( x = \pm A \), ivme maksimum
C) \( x = \pm \frac{A}{2} \), ivme orta değerde
D) \( x = 0 \), ivme maksimum

Merhaba sevgili öğrenciler,

Basit harmonik hareket (BHH) yapan bir cismin hareketini anlamak için hız ve ivme denklemlerini iyi bilmek önemlidir. Şimdi sorumuzu adım adım inceleyelim:

• 1. Hız Denklemini Anlayalım:

  Bize verilen hız denklemi $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ şeklindedir.

  • Burada $v$, cismin anlık hızıdır.
  • $\omega$ (omega), cismin açısal frekansıdır ve hareket boyunca sabittir.
  • $A$, cismin genliğidir, yani denge konumundan ulaşabileceği maksimum uzaklıktır. Bu da sabittir.
  • $x$, cismin denge konumundan anlık uzanımıdır. Bu değer $-A$ ile $+A$ arasında değişir.

  Bu denklem, cismin hızının konumuna ($x$) bağlı olarak nasıl değiştiğini gösterir.

• 2. Hızın Sıfır Olduğu Noktaları Bulalım:

  Cismin hızının sıfır olduğu noktaları bulmak için hız denklemini $v = 0$ olarak ayarlamamız gerekir:

  $0 = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

  Bu denklemin sağlanabilmesi için $\omega$ sıfır olamayacağına göre (çünkü $\omega$ sıfır olursa hareket olmazdı), köklü ifadenin sıfır olması gerekir:

  $\sqrt{A^2 - x^2} = 0$

  Her iki tarafın karesini alırsak:

  $A^2 - x^2 = 0$

  $A^2 = x^2$

  Bu denklemi çözdüğümüzde $x$ için iki değer buluruz: $x = +A$ ve $x = -A$.

  Bu noktalar, cismin denge konumundan maksimum uzaklaştığı, yani genlik noktalarıdır. Bu noktalarda cisim anlık olarak durur ve hareket yönünü değiştirir.

• 3. İvme Denklemini Hatırlayalım:

  Basit harmonik harekette ivme denklemi $a = -\omega^2 x$ şeklindedir.

  • Burada $a$, cismin anlık ivmesidir.
  • $\omega^2$ pozitif bir sabittir.
  • $x$, cismin denge konumundan uzanımıdır.

  Eksi işareti, ivmenin her zaman denge konumuna doğru yöneldiğini gösterir. İvmenin büyüklüğü ise uzanım ($x$) ile doğru orantılıdır.

• 4. Hızın Sıfır Olduğu Noktalarda İvmeyi Bulalım:

  Hızın sıfır olduğu noktalar $x = +A$ ve $x = -A$ idi. Şimdi bu değerleri ivme denkleminde yerine koyalım:

  • $x = +A$ için ivme: $a = -\omega^2 (+A) = -\omega^2 A$
  • $x = -A$ için ivme: $a = -\omega^2 (-A) = +\omega^2 A$

  Her iki durumda da ivmenin büyüklüğü $|a| = \omega^2 A$ olur. Bu değer, basit harmonik harekette ivmenin alabileceği en büyük (maksimum) değerdir, çünkü $x$ uzanımı $A$'dan daha büyük olamaz.

  Yani, hızın sıfır olduğu $x = \pm A$ noktalarında ivme maksimum değerdedir (yönleri zıt olsa da büyüklükleri maksimumdur).

• 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) $x = 0$, ivme sıfır: $x=0$ denge konumudur. Burada hız maksimum ($v = \omega A$), ivme ise $a = -\omega^2 (0) = 0$ olur. Bu seçenek hızın sıfır olduğu noktaları ve o noktalardaki ivmeyi doğru belirtmiyor.
  • B) $x = \pm A$, ivme maksimum: Bu seçenek, bizim bulduğumuz sonuçlarla tamamen uyumludur. Hızın sıfır olduğu noktalar $x = \pm A$'dır ve bu noktalarda ivme maksimumdur.
  • C) $x = \pm \frac{A}{2}$, ivme orta değerde: Bu noktalarda hız da ivme de sıfır değildir ve maksimum değerlerinde de değildirler.
  • D) $x = 0$, ivme maksimum: $x=0$ noktasında ivme sıfırdır, maksimum değildir.

Bu analizlere göre, hızın sıfır olduğu noktalar $x = \pm A$'dır ve bu noktalarda ivme maksimum değerdedir.

Cevap B seçeneğidir.