Bu soruyu adım adım çözerek, trigonometrik özdeşlikleri ve formülleri nasıl kullanacağımızı öğrenelim.
- Adım 1: Soruyu Anlama ve Hedefi Belirleme
- Bize $ \sin a = \frac{3}{5} $ verildi ve $a$ açısının bir dar açı olduğu belirtildi. Bizden $ \sin 2a $ değerini bulmamız isteniyor.
- Adım 2: Gerekli Formülü Hatırlama
- $ \sin 2a $ ifadesini bulmak için sinüsün iki kat açı formülünü kullanmalıyız. Bu formül şöyledir: $ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $.
- Gördüğümüz gibi, $ \sin 2a $ değerini bulmak için hem $ \sin a $ hem de $ \cos a $ değerlerine ihtiyacımız var. $ \sin a $ değeri zaten bize verilmiş ($ \frac{3}{5} $). Şimdi $ \cos a $ değerini bulmalıyız.
- Adım 3: $ \cos a $ Değerini Bulma
- Trigonometrinin temel özdeşliği olan $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $ formülünü kullanarak $ \cos a $ değerini bulabiliriz.
- Verilen $ \sin a = \frac{3}{5} $ değerini formülde yerine yazalım:
- $ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 $
- $ \frac{9}{25} + \cos^2 a = 1 $
- Şimdi $ \cos^2 a $ değerini yalnız bırakalım:
- $ \cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} $
- Paydaları eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım:
- $ \cos^2 a = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} $
- $ \cos^2 a = \frac{16}{25} $
- Her iki tarafın karekökünü alarak $ \cos a $ değerini bulalım:
- $ \cos a = \sqrt{\frac{16}{25}} $ veya $ \cos a = -\sqrt{\frac{16}{25}} $
- $ \cos a = \frac{4}{5} $ veya $ \cos a = -\frac{4}{5} $
- Soruda $a$ açısının dar açı olduğu belirtilmiştir. Dar açı, $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasındaki açılardır (yani birinci bölgededir). Birinci bölgede hem sinüs hem de kosinüs değerleri pozitiftir. Bu nedenle $ \cos a $ değeri pozitif olmalıdır.
- Öyleyse, $ \cos a = \frac{4}{5} $.
- Adım 4: $ \sin 2a $ Değerini Hesaplama
- Şimdi hem $ \sin a = \frac{3}{5} $ hem de $ \cos a = \frac{4}{5} $ değerlerini iki kat açı formülünde yerine yazabiliriz:
- $ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $
- $ \sin 2a = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right) $
- Çarpma işlemini yapalım:
- $ \sin 2a = 2 \times \frac{3 \times 4}{5 \times 5} $
- $ \sin 2a = 2 \times \frac{12}{25} $
- $ \sin 2a = \frac{24}{25} $
- Adım 5: Sonucu Kontrol Etme
- Bulduğumuz $ \frac{24}{25} $ değeri seçeneklerde D şıkkında bulunmaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
