Devirli ondalık sayı nedir Test 1

0,\overline{9} devirli ondalık sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 1'den küçüktür
B) 9/10'a eşittir
C) 1'e eşittir
D) 0,999'a eşittir

Sevgili öğrenciler, bu soru devirli ondalık sayıların temel özelliklerinden birini anlamamızı istiyor. $0,\overline{9}$ gibi bir devirli ondalık sayının değerini bulmak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz. Şimdi adım adım bu sayının gerçek değerini bulalım:

• Devirli Ondalık Sayının Anlamı: $0,\overline{9}$ ifadesi, virgülden sonraki 9 rakamının sonsuza kadar tekrar ettiği anlamına gelir. Yani, $0,99999...$ şeklinde devam eden bir sayıdır.
• Yöntem 1: Cebirsel Yaklaşım

  Öncelikle, aradığımız sayıya bir isim verelim: $x = 0,\overline{9}$

  Eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım (çünkü devreden kısım tek basamaklı): $10x = 9,\overline{9}$

  Şimdi, ilk denklemi ($x = 0,\overline{9}$) ikinci denklemden ($10x = 9,\overline{9}$) çıkaralım:

  $10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9}$

  $9x = 9$

  $x$'i bulmak için her iki tarafı 9'a bölelim: $x = \frac{9}{9} = 1$

• Yöntem 2: Devirli Ondalık Sayıları Kesre Çevirme Formülü

  Devirli ondalık sayıları kesre çevirmek için genel bir formül vardır. $0,\overline{a}$ şeklindeki sayılar için formül $\frac{a}{9}$'dur.

  Bu formülü $0,\overline{9}$ için uygulayalım: $\frac{9}{9} = 1$

• Yöntem 3: Mantıksal Yaklaşım (Sonsuz Yakınsama)

  $0,9$ sayısı $1$'den küçüktür.

  $0,99$ sayısı da $1$'den küçüktür ama $0,9$'dan daha büyüktür ve $1$'e daha yakındır.

  $0,999$ sayısı da $1$'den küçüktür ama $0,99$'dan daha büyüktür ve $1$'e daha da yakındır.

  Bu örüntüyü sonsuza kadar devam ettirdiğimizde, $0,\overline{9}$ sayısı $1$'e o kadar yaklaşır ki, aralarında hiçbir sayı kalmaz. Matematiksel olarak bu iki sayı birbirine eşittir. Aralarında bir fark olduğunu varsayarsak, bu farkın ne kadar küçük olursa olsun bir değeri olması gerekir, ancak $0,\overline{9}$ ile $1$ arasında hiçbir pozitif fark tanımlanamaz.

• Seçenekleri Değerlendirme:

  A) 1'den küçüktür: Yaptığımız hesaplamalar $0,\overline{9}$'un tam olarak $1$'e eşit olduğunu gösterdi, bu yüzden bu ifade yanlıştır.

  B) 9/10'a eşittir: $9/10 = 0,9$'dur. $0,\overline{9}$ ise $0,999...$'dur. Bu da yanlıştır.

  C) 1'e eşittir: Hesaplamalarımız tam olarak bu sonucu verdi. Bu ifade doğrudur.

  D) 0,999'a eşittir: $0,999$ belirli bir ondalık sayıdır. $0,\overline{9}$ ise sonsuz sayıda 9 içeren bir sayıdır. Bu iki sayı birbirine eşit değildir.

Gördüğünüz gibi, farklı yöntemlerle de aynı sonuca ulaşıyoruz: $0,\overline{9}$ sayısı tam olarak $1$'e eşittir.

Cevap C seçeneğidir.