Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, farklı şekillere sahip cisimlerin eğik düzlemde yuvarlanarak hareket etmesini ve hangisinin düzlemin sonuna daha önce varacağını inceliyoruz. Bu tür sorular, cisimlerin hem öteleme (ilerleme) hem de dönme hareketini aynı anda yapması nedeniyle enerji dönüşümlerini anlamamızı gerektirir.
-
Enerji Dönüşümü: Cisimler eğik düzlemin tepesinden serbest bırakıldığında, sahip oldukları potansiyel enerji ($E_p = mgh$) düzlemin sonuna doğru hem öteleme kinetik enerjisine ($E_{k,öteleme} = \frac{1}{2}mv^2$) hem de dönme kinetik enerjisine ($E_{k,dönme} = \frac{1}{2}I\omega^2$) dönüşür. Burada $m$ kütle, $g$ yerçekimi ivmesi, $h$ yükseklik, $v$ öteleme hızı, $I$ eylemsizlik momenti ve $\omega$ açısal hızdır.
-
Yuvarlanma Koşulu: Cisimler kaymadan yuvarlandığı için öteleme hızı ile açısal hız arasında $v = \omega R$ ilişkisi vardır. Buradan $\omega = \frac{v}{R}$ yazabiliriz.
-
Toplam Kinetik Enerji: Enerji korunumuna göre, başlangıçtaki potansiyel enerji, düzlemin sonundaki toplam kinetik enerjiye eşit olacaktır:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$\omega$ yerine $\frac{v}{R}$ yazarsak:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{I}{R^2}v^2$
$mgh = \frac{1}{2}v^2 \left(m + \frac{I}{R^2}\right)$
-
Son Hızın Hesaplanması: Bu denklemden cismin düzlemin sonundaki $v$ hızını çekebiliriz:
$v^2 = \frac{2mgh}{m + \frac{I}{R^2}}$
Pay ve paydayı $m$ ile bölersek:
$v^2 = \frac{2gh}{1 + \frac{I}{mR^2}}$
Gördüğümüz gibi, cismin son hızı $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{mR^2}}}$ ifadesine bağlıdır. Burada $g$ ve $h$ tüm cisimler için aynıdır. Dolayısıyla, cismin son hızı, $\frac{I}{mR^2}$ oranına bağlıdır. Bu orana $k$ diyelim. Yani $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$.
-
Eylemsizlik Momentlerinin Karşılaştırılması: Şimdi her bir cisim için eylemsizlik momenti ($I$) ve $k = \frac{I}{mR^2}$ oranını inceleyelim:
-
İçi dolu silindir: Eylemsizlik momenti $I_{dolu} = \frac{1}{2}mR^2$.
Bu durumda $k_{dolu} = \frac{\frac{1}{2}mR^2}{mR^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
-
İçi boş silindir: Eylemsizlik momenti $I_{boş} = mR^2$ (ince cidarlı olduğu varsayılır).
Bu durumda $k_{boş} = \frac{mR^2}{mR^2} = 1$.
-
Küre: Eylemsizlik momenti $I_{küre} = \frac{2}{5}mR^2$.
Bu durumda $k_{küre} = \frac{\frac{2}{5}mR^2}{mR^2} = \frac{2}{5} = 0.4$.
-
Son Hızların Karşılaştırılması: Cisimlerin son hızları $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$ formülüyle verildiği için, $k$ değeri ne kadar küçük olursa, $1+k$ değeri de o kadar küçük olur ve dolayısıyla $v$ hızı o kadar büyük olur.
$k$ değerlerini sıralarsak: $k_{küre} (0.4) < k_{dolu} (0.5) < k_{boş} (1)$.
Bu durumda, cisimlerin düzlemin sonundaki hızları arasındaki ilişki:
$v_{küre} > v_{dolu\_silindir} > v_{boş\_silindir}$ olacaktır.
-
Varış Süresi: Eğik düzlemin uzunluğu tüm cisimler için aynı olduğundan, düzlemin sonuna en yüksek hızla ulaşan cisim, düzlemi en kısa sürede tamamlayacaktır. Dolayısıyla, küre düzlemin sonuna ilk varan cisim olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
