Soru:
Kütlesi \( m = 2 \, \text{kg} \) ve yarıçapı \( R = 0.2 \, \text{m} \) olan katı bir küre, \( \theta = 30^\circ \) eğim açısı olan bir rampadan aşağı kaymadan yuvarlanmaktadır. Küre, rampanın tepesinden serbest bırakılıyor ve rampanın altına ulaştığında kütle merkezinin hızı nedir? (Kürenin eylemsizlik momenti \( I_{KM} = \frac{2}{5}mR^2 \), \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Çözüm:
💡 Enerjinin korunumu ilkesini kullanacağız. Başlangıçtaki potansiyel enerji, son durumdaki toplam kinetik enerjiye (ötelenme + dönme) eşit olacaktır.
- ➡️ Küre \( h \) yüksekliğinden serbest bırakılsın. Rampanın uzunluğu \( L \) ise, \( h = L \sin\theta \)'dır. Soruda hız sorulduğu için \( h \)'yi yok edeceğiz.
- ➡️ Enerjinin Korunumu: \( mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \)
- ➡️ Kaymadan yuvarlanma şartı: \( v = \omega R \). Ayrıca \( I = \frac{2}{5}mR^2 \). Bunları yerine koyalım:
\( mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 \)
- ➡️ Sadeleştirelim: \( mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}mR^2 \cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 \)
- ➡️ \( mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5})mv^2 = (\frac{5}{10} + \frac{2}{10})mv^2 = \frac{7}{10}mv^2 \)
- ➡️ \( gh = \frac{7}{10}v^2 \). Buradan \( v = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \) bulunur. \( h = L\sin30^\circ = L \cdot \frac{1}{2} \) olduğundan, \( v = \sqrt{\frac{10 \cdot g \cdot (L/2)}{7}} = \sqrt{\frac{5gL}{7}} \). Rampanın uzunluğu \( L = 5.6 \, \text{m} \) olarak verilseydi hesaplama yapılabilirdi. Ancak bu genel formüldür. Hızı bulmak için yüksekliğe ihtiyaç vardır. Soruda yükseklik veya rampa uzunluğu verilmediği için sayısal bir sonuç bulunamaz. Genel çözüm \( v = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \) şeklindedir.
✅ Sonuç: Kütle merkezinin hızı \( v = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \) formülü ile bulunur. Sayısal hesaplama için yükseklik \( h \) gereklidir.
