Soru:
Kütlesi \( m = 2 \, \text{kg} \) ve yarıçapı \( R = 0.2 \, \text{m} \) olan katı bir küre, \( 30^\circ \) eğim açısı olan bir rampadan aşağı kaymadan yuvarlanmaktadır. Küre, rampanın tepesinden serbest bırakıldığına göre, \( 2 \, \text{m} \) yol aldığında kütle merkezinin hızı kaç m/s olur? (Kürenin eylemsizlik momenti \( I_{km} = \frac{2}{5} m R^2 \), \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).)
Çözüm:
💡 Enerjinin korunumu ilkesini kullanacağız. Potansiyel enerjideki azalma, toplam kinetik enerjiye dönüşür.
- ➡️ Yükseklik Kaybı: Küre \( \ell = 2 \, \text{m} \) yol aldığında, düşeydeki yükseklik kaybı \( h = \ell \sin\theta = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{m} \) olur.
- ➡️ Potansiyel Enerji Kaybı: \( \Delta PE = m g h = 2 \cdot 10 \cdot 1 = 20 \, \text{J} \). Bu değer toplam kinetik enerjiye eşittir: \( K_{toplam} = 20 \, \text{J} \).
- ➡️ Toplam Kinetik Enerji Denklemi: \( K_{toplam} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 \). Kaymadan yuvarlanma için \( \omega = \frac{v}{R} \) ve \( I = \frac{2}{5} m R^2 \) yazılabilir.
- ➡️ Hesaplama: \( K_{toplam} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2 \).
\( 20 = \frac{7}{10} \cdot 2 \cdot v^2 \)
\( 20 = \frac{14}{10} v^2 \)
\( 20 = 1.4 v^2 \)
\( v^2 = \frac{20}{1.4} \approx 14.286 \)
\( v \approx \sqrt{14.286} \approx 3.78 \, \text{m/s} \).
✅ Sonuç olarak, kütle merkezinin hızı yaklaşık 3.78 m/s olur.
