Soru:
Kütlesi \( m = 4 \, \text{kg} \) olan bir makara (içi dolu silindir, \( I_{KM} = \frac{1}{2}mR^2 \)), yatay bir düzlemde kaymadan yuvarlanmaktadır. Makaranın kütle merkezinin ivmesi \( a_{KM} = 2 \, \text{m/s}^2 \) ise, makaraya etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü nedir? (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Çözüm:
💡 Kayan cisimlerde sürtünme kinetiktir ve hareketi engeller. Ancak kaymadan yuvarlanan cisimlerde sürtünme statiktir ve hem öteleme hem de dönme hareketinin gerçekleşmesini sağlar. Burada sürtünme kuvvetini bulmak için hem öteleme hem de dönme dinamik denklemlerini yazmalıyız.
- ➡️ Öteleme Hareketi (Newton'un 2. Yasası): Makaraya yatayda etki eden net kuvvet sadece sürtünme kuvvetidir (\( f_s \)). Bu kuvvet öteleme ivmesini sağlar.
\( \Sigma F_x = m a_{KM} \Rightarrow f_s = m a_{KM} \)
- ➡️ Dönme Hareketi (Dönme Dinamiği): Sürtünme kuvveti, makaranın merkezine göre bir tork oluşturur (\( \tau = f_s R \)). Bu tork açısal ivmeyi (\( \alpha \)) oluşturur.
\( \Sigma \tau = I \alpha \Rightarrow f_s R = (\frac{1}{2}mR^2) \alpha \)
- ➡️ Kaymadan Yuvarlanma Bağıntısı: \( a_{KM} = \alpha R \). Buradan \( \alpha = \frac{a_{KM}}{R} \) yazılabilir.
- ➡️ Dönme denkleminde \( \alpha \) yerine yazalım: \( f_s R = (\frac{1}{2}mR^2) (\frac{a_{KM}}{R}) \)
- ➡️ Sadeleştirelim: \( f_s R = \frac{1}{2}m R a_{KM} \Rightarrow f_s = \frac{1}{2} m a_{KM} \)
- ➡️ Şimdi değerleri yerine koyalım: \( f_s = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{kg} \times 2 \, \text{m/s}^2 = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, \text{N} \)
✅ Sonuç: Makaraya etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü 4 Newton'dur.
