Soru:
Kütlesi \( m = 4 \, \text{kg} \), yarıçapı \( r = 0.1 \, \text{m} \) olan içi dolu silindir bir cisim, yatayla \( 37^\circ \) açı yapan bir eğik düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Eğik düzlemin tepesinden serbest bırakılan silindirin, ivmesi kaç \( \text{m/s}^2 \) olur? (\( \sin 37^\circ = 0.6 \), \( \cos 37^\circ = 0.8 \), \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \), İçi dolu silindirin eylemsizlik momenti \( I_{km} = \frac{1}{2} m r^2 \).)
Çözüm:
💡 Kütle merkezinin doğrusal hareketi ve dönme hareketi için dinamik denklemlerini yazıp çözeceğiz.
- ➡️ Kuvvet Analizi: Eğik düzlemde aşağıya doğru etki eden bileşke kuvvet \( mg\sin\theta \)'dır. Sürtünme kuvveti (\( f_s \)) ise yukarı yöndedir (Dönmeyi sağlar). Kütle merkezinin hareket denklemi: \( mg\sin\theta - f_s = m a \). (Denklem 1)
- ➡️ Tork Denklemi: Tork, sürtünme kuvveti tarafından sağlanır. Merkezden geçen eksene göre tork: \( \tau = f_s \cdot r \). Tork aynı zamanda \( \tau = I \alpha \)'dır. Buradan \( f_s \cdot r = I \alpha \) yazılır. (Denklem 2)
- ➡️ Kaymadan Yuvarlanma Koşulu: \( a = \alpha r \). Burada \( \alpha \) açısal ivmedir.
- ➡️ Denklemleri Birleştirme:
Denklem 2'den: \( f_s \cdot r = (\frac{1}{2} m r^2) \cdot \alpha \).
\( \alpha = \frac{a}{r} \) yerine yazılırsa: \( f_s \cdot r = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \frac{a}{r} \)
\( f_s = \frac{1}{2} m a \). (Denklem 3)
Denklem 3'ü Denklem 1'de yerine koyalım:
\( mg\sin\theta - \frac{1}{2} m a = m a \)
\( mg\sin\theta = m a + \frac{1}{2} m a = \frac{3}{2} m a \)
\( g\sin\theta = \frac{3}{2} a \).
- ➡️ İvmenin Hesaplanması: \( a = \frac{2}{3} g \sin\theta = \frac{2}{3} \cdot 10 \cdot 0.6 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \, \text{m/s}^2 \).
✅ Sonuç olarak, silindirin kütle merkezinin ivmesi \( 4 \, \text{m/s}^2 \) olur.
